Poglavlje 2 Slučajna varijabla

126 Slučajna varijabla
Gornji integral rješavamo parcijalnom integracijom. Slijedi da je
Dakle, Var X = σ 2 .
σ 2
� �∞
2
π
0
t 2 t2
−
e 2 dt = σ 2
�
2
π
�∞
0
t2
−
e 2 dt = σ 2 .
Uočimo da su parametri μ i σ2 normalne distribucije upravo njezino matematičko
očekivanje i varijanca, redom.
Primjer 2.38. Graf funkcije gustoće normalne slučajne varijable s očekivanjem μ =5
i varijancom σ2 =1prikazan je slikom 2.25.
0.4
0.3
0.2
0.1
y
4 5 6
Slika 2.25: Graf funkcije gustoće normalne distribucije N (5, 1).
Vidimo da funkcija gustoće ima maksimum u očekivanju, a za vrijednosti nezavisne varijable
x1 = μ − σ i x2 = μ + σ ima točke infleksije. Odredimo vjerojatnost realizacije ove
slučajne varijable unutar intervala [μ−σ, μ+σ] =[4, 6], tj. vjerojatnost realizacije slučajne
varijable udaljene od očekivanja za manje ili točno jednu standardnu devijaciju (koristite
računalo!).
P {X ∈ [4, 6]} ≈0.682.
Provjerite da vrijedi:
P {X ∈ [μ − 2σ, μ +2σ]} ≈0.955.
P {X ∈ [μ − 3σ, μ +3σ]} ≈0.997.
x