Poglavlje 2 Slučajna varijabla

130 Slučajna varijabla
2.7.2 Bijektivna transformacija slučajne varijable
Postupkom standardizacije transformiramo slučajnu varijablu afinom funkcijom
s pozitivnim koeficijentom smjera. Naime, u postupku standardizacije
x − μ
novonastala slučajna varijabla Y kompozicija je afine funkcije g(x) =
σ
i slučajne varijable X, tj. Y = g(X). Pokazali smo da se, kod ovako jednostavne
funkcije g, može lako odrediti funkcija distribucije novonastale slučajne
varijable. Sličan postupak može se primijeniti kod svih transformacija
bijektivnim funkcijama g. Ako je slučajna varijabla X diskretna opisanim
postupkom dobivamo slučajnu varijablu Y = g(X) koja je također diskretnog
tipa. Međutim, ako je X apsolutno neprekidna, Y = g(X) će biti apsolutno
neprekidna samo ako je moguće izraziti njenu funkciju distribucije pomoću
funkcije gustoće.
Primjer 2.43. Neka je dana diskretna slučajna varijabla X tablicom distribucije
�
X =
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
...
...
�
, 0 ≤ pi ≤ 1, �
pi =1, I ⊆ N,
i neka je g : R(X) → R bijekcija. Tada je slučajna varijabla Y = g(X) zadana tablicom
distribucije
Y =
�
g(x1) g(x2) ... g(xn) ...
p1 p2 ... pn ...
i∈I
�
, pi≥1, �
pi =1 I ⊆ N.
Primjer 2.44. Neka je dana neprekidna slučajna varijabla X funkcijom gustoće f(x)
i neka je bijekcija g : R → R definirana pravilom g(x) =e x . Tada je Y = g(X) =e X
neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće h(x) =f(ln x) 1
za x>0 i h(x) =0za
x
x ≤ 0.
Zaista,
�
0 , x ≤ 0
FY (x) =P {Y ≤ x} = P {g(X) ≤ x} =
P {X ≤ g−1 (x)} , x > 0 .
Nadalje, za x>0 vrijedi:
P {X ≤ g −1 (x)} =
� g −1 (x)
−∞
f(t) dt =
� ln x
−∞
i∈I
f(t) dt.