Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Numeričke karakteristike slučajne varijable 117
� �
X =
0
1 − p
1
p
, p ∈〈0, 1〉.
Očekivanje i varijanca ove distribucije dani su sljedećim izrazima:
Binomna distribucija
EX = p, Var X = p(1 − p).
Binomna slučajna varijabla B(n, p) s parametrima n ∈ N i p ∈〈0, 1〉 definirana
je skupom vrijednosti {0, 1, 2, ..., n} s pripadnim vjerojatnostima
Označimo q =1− p.
pi = P {X = i} =
� �
n
p
i
i (1 − p) n−i .
Prije nego izračunamo očekivanje i varijancu binomne slučajne varijable
uočimo da za fiksne realne brojeva a i b vrijedi sljedeće:
g(t) =(at + b) n n�
� �
n
=
a
i i=0
i t i b n−i
n�
� �
n
i
i
i=1
n�
� �
n
i a
i
i=1
i b n−i
n�
� �
n
i(i − 1)
i
i=2
n�
� �
n
i(i − 1)
i
g ′ (t) =n(at + b) n−1 a =
g ′ (1) = n(a + b) n−1 a =
g ′′ (t) =n(n − 1)(at + b) n−2 a 2 =
g ′′ (1) = n(n − 1)(a + b) n−2 a 2 =
i=2
a i t i−1 b n−i
a i t i−2 b n−i
a i b n−i
(2.3)
(2.4)