Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Transformacija slučajne varijable 131
Uz supstituciju t =lnuslijedi: P {X ≤ g −1 � x
(x)} =
0
f(ln u) 1
u du.
Definiranjem funkcije
⎧
⎨
h(u) =
⎩
0
f(ln u)
, u ≤ 0
1
u
, u > 0
,
vidimo da je ona nenegativna i vrijedi
� x
P {Y ≤ x} = h(u) du,
pa je time pokazano da je h(u) funkcija gustoće slučajne varijable Y .
Primjer 2.45. Neka je neprekidna slučajna varijabla X zadana funkcijom gustoće f(x)
i neka je g(x) = e −x . Tada se analognim postupkom kao u primjeru 2.44 vidi da je
Y = g(X) =e −X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće h(x) =f(− ln(x)) 1
x
za x>0 i h(x) =0za x ≤ 0.
Za neprekidnu slučajnu varijablu X i bijekciju g : R →R(g) ⊆ R može se
odredti općeniti izraz za funkciju gustoće slučajne varijable Y = g(X) ako je
ona neprekidna slučajna varijabla. O tome govori teorem 2.5.
Teorem 2.5. Neka je X neprekidna slučajna varijabla, fX njena funkcija
gustoće, a FX funkcija distribucije. Neka je, nadalje, g : R →R(g) ⊆ R
bijekcija. Ako je funkcija g derivabilna na R onda je Y = g(X) neprekidna
slučajna varijabla s funkcijom gustoće
fY (y) =
�
−∞
fX(g −1 (y))|[g−1 (y)] ′
| , y ∈R(g)
.
c 0 , y ∈ (R(g))
Dokaz. Neka je X neprekidna slučajna varijabla i g bijekcija kao u iskazu
teorema. Tražimo funkciju distribucije FY slučajne varijable Y = g(X).
Uočimo da vrijedi:
FY (y) =P {Y ≤ y} = P {g(X) ≤ y}.