Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Primjeri parametarski zadanih neprekidnih distribucija 99
Međutim, pod ovom pretpostavkom je
P ({X >t+Δt}|{X >t}) =1− P ({X ≤ t +Δt}|{X >t}) =1− λΔt,
pa vrijedi
P {X >t+Δt} =(1−λΔt)P {X >t}.
Označimo funkciju S(t) =P {X >t}. Ova funkcija, za male Δt, treba zadovoljavati
svojstvo
S(t +Δt) =(1−λΔt)S(t), tj.
S(t +Δt) − S(t)
= −λS(t),
Δt
što u limesu, za Δt → 0, znači da mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu
S ′ (t) =−λS(t).
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je S(t) =Ce−λt , a konstantu možemo
odrediti iz prirodnog uvjeta S(0) = P {X >0} =1. Dakle,
S(t) =P {X >t} = e −λt ,
što znači da funkcija distribucije slučajne varijable X ima oblik
F (t) =1− P {X >t} =1− e −λt .
Ovo je upravo funkcija distribucije slučajne varijable koju zovemo eksponencijalna
s parametrom λ>0.
Definicija 2.9. Neprekidna slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju
s parametrom λ>0 ako je funkcija gustoće dana izrazom
�
0 , x < 0
f(x) =
λe−λx , x ≥ 0 .
Funkcija distribucije ove slučajne varijable dana je izrazom
�
0 , x < 0
F (x) =
1 − e−λx , x ≥ 0 .
Primjer 2.23. Vrijeme u sekundama koje protekne od servisa do prvog udara teniske
loptice u tlo modelirano je eksponencijalnom slučajnom varijablom s parametrom λ =1/3.
Grafovi funkcije gustoće i funkcije distribucije ove slučajne varijable dani su na slici 2.16