Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Transformacija slučajne varijable 133
Ako je funkcija g derivabilna na R onda je i funkcija (1 − FX(g −1 (y))) derivabilna
na R(g) pa možemo definirati funkciju
fY (y) = d(1 − FX(g −1 (y)))
dy
= −fX(g −1 (y))[g −1 (y)] ′
, y ∈R(g).
Uočimo da je fY nenegativna funkcija jer je fX(g −1 (y)) ≥ 0 zbog nenegativnosti
funkcije fX, a[g−1 (y)] ′
funkcija. Također vrijedi:
< 0 obzirom da je g monotono padajuća
� �
−fX(g
R(g)
−1 (y))[g −1 (y)] ′�
�
dy = fX(x) dx =1.
R
Sada možemo proširiti funkciju fY (y) na cijeli R tako da definiramo:
fY (y) =
�
−fX(g −1 (y))[g−1 (y)] ′
, y ∈R(g)
.
c 0 , y ∈ (R(g))
Prema prethodnim rezultatima slijedi da za derivabilnu bijekciju g : R →
R(g) možemo definirati funkciju fY : R → R izrazom:
fY (y) =
�
Ta funkcija je nenagativna i vrijedi:
fX(g −1 (y)) � �[g−1 (y)] ′�� , y ∈R(g)
.
c 0 , y ∈ (R(g))
FY (y) =
� y
fY (t) dt.
−∞
Dakle, Y je neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće fY .
2.7.3 Primjeri transformacija koje nisu bijektivne
Ako transformacija slučajne varijable nije bijekcija također je moguće odrediti
distribuciju novonastale slučajne varijable ali je postupak tehnički zahtjevniji.
Za ilustraciju ćemo se poslužiti primjerima.