Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Numeričke karakteristike slučajne varijable 115
Obzirom da je varijanca moment koji ćemo često koristiti, dokažimo nekoliko
korisnih svojstava.
1. Neka je X slučajna varijabla koja ima varijancu, te a i b proizvoljni
realni brojevi. Tada vrijedi
Dokaz.
Var (aX + b) =a 2 Var X.
Var (aX + b) = E ((aX + b) − (aEX + b)) 2 =
= E (aX − aEX) 2 = a 2 E(X − EX) 2 = a 2 Var X.
2. Ako za slučajnu varijablu X vrijedi Var X = 0, onda ona zapravo
nema karakter slučajnosti, tj. P {X = konst} =1. Očigledno je da
vrijedi i drugi smjer ove tvrdnje, tj. ako za slučajnu varijablu X vrijedi
P {X = konst} =1, onda je Var X =0.
Dokaz. Neka je Var X =0. Tada vrijedi: E(X − μ) 2 =0. Obzirom
da je (X − μ) 2 ≥ 0, na skupu na kojemu je (X − μ) 2 > 0 mora biti
pripadna vjerojatnost 0, tj. P {(X − μ) 2 > 0} =0. Odavde slijedi da je
P {(X − μ) 2 =0} =1, tj. P {X = μ} =1, što dokazuje prvu tvrdnju.
Za dokaz druge tvrdnje pretpostavimo P {X = c} =1. Tada je EX = c,
a Var X = E(X − c) 2 =0.
3. Varijancu možemo računati također primjenom formule
Var X = EX 2 − (EX) 2 .
Dokaz. Neka je EX = μ. Tada zbog linearnosti očekivanja vrijedi:
Var X = E(X − μ) 2 = E(X 2 − 2μEX + μ 2 )=EX 2 − μ 2 .