Poglavlje 2 Slučajna varijabla
Poglavlje 2 Slučajna varijabla
Poglavlje 2 Slučajna varijabla
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Numeričke karakteristike slučajne varijable 107<br />
Teorem 2.2. Neka je (Ω, P(Ω),P) diskretan vjerojatnosni prostor,<br />
�<br />
�<br />
X =<br />
x1<br />
p1<br />
x2<br />
p2<br />
···<br />
···<br />
xn<br />
pn<br />
···<br />
···<br />
slučajna <strong>varijabla</strong> na njemu i g : R(X) → R funkcija takva da postoji Eg(X).<br />
Tada vrijedi:<br />
Eg(X) = �<br />
g(xi)pi.<br />
i∈N<br />
Koristeći ovaj rezultat i definiciju očekivanja možemo dokazati da vrijede<br />
sljedeća korisna svojstva očekivanja:<br />
1. Neka su a i b realni brojevi, a X slučajna <strong>varijabla</strong> koja ima očekivanje.<br />
Tada i slučajna <strong>varijabla</strong> aX + b ima očekivanje i vrijedi:<br />
E(aX + b) =aEX + b.<br />
2. Ako su X i Y dvije slučajne varijable koje imaju očekivanja i ako<br />
vrijedi X(ω) ≤ Y (ω) za sve ω ∈ Ω onda je i EX ≤ EY (monotonost<br />
očekivanja).<br />
3. Ako je X slučajna <strong>varijabla</strong> koja ima svojstvo X(ω) ≥ 0 i ako je red<br />
�<br />
X(ω)P {ω} konvergentan, tada je EX ≥ 0 (pozitivnost očeki-<br />
ω∈Ω<br />
vanja).<br />
Osim navedenih svojstava, očekivanje ima i svojstvo linearnosti. Naime vrijedi<br />
sljedeći teorem:<br />
Teorem 2.3. Neka su X i Y dvije slučajne varijable na vjerojatnosnom<br />
prostoru (Ω, P(Ω),P) koje imaju očekivanja EX, odnosno EY . Tada za<br />
proizvoljne a, b ∈ R, slučajna <strong>varijabla</strong> aX + bY također ima očekivanje i<br />
vrijedi:<br />
E(aX + bY )=aEX + bEY.
Change language