Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Numeričke karakteristike slučajne varijable 125
Da bismo lakše riješili potrebne integrale uočimo prvo da je funkcija
g(x) =x 1 x2
− √ e 2
2π
neparna, na R integrabilna funkcija, pa je
�∞
−∞
g(x) dx =0.
Osim toga, zbog normiranosti funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable
znamo da je
�∞
−∞
1 x2
− √ e 2 dx =1.
2π
Primjenom supstituciije t =(x − μ)/σ slijedi:
EX =
EX 2 =
=
= μ,
1
√ 2πσ
1
√ 2π
1
√ 2πσ
= σ2
√ 2π
= σ2
√ 2π
�∞
(x−μ)2
−
xe 2σ2 dx = 1
√
2π
�∞
−∞
−∞
�∞
t2
−
σt e 2 dt + μ
−∞
1
�∞
t2
− √ e 2 dt
2π
−∞
�∞
−∞
∞
�
−∞
∞
�
−∞
x 2 (x−μ)2
−
e 2σ2 dx = 1
√
2π
t 2 t2
−
e 2 dt + 2σμ
√
2π
�∞
−∞
t 2 t2
−
e 2 dt + μ 2 = σ 2
�
2
π
�∞
−∞
t2
−
(σt + μ) e 2 dt
(σt + μ) 2 t2
−
e 2 dt
t2
−
te 2 dt + μ2
√
2π
�∞
0
�∞
−∞
t 2 t2
−
e 2 dt + μ 2 .
t2
−
e 2 dt