Poglavlje 2 Slučajna varijabla

Numeričke karakteristike slučajne varijable 119
Odredimo vjerojatnost realizacije ove slučajne varijable unutar intervala 〈6.67, 26.67〉, tj.
vjerojatnost realizacije slučajne varijable udaljene od očekivanja za manje od tri standardne
devijacije:
�26
� �� �i � �50−i 50 1 2
P {X ∈〈6.67, 26.67〉} =
≈ 0.997.
i 3 3
i=7
Dakle, ova slučajna varijabla će se s vjerojatnošću približno 0.997 realizirati unutar intervala
[μ−3σ, μ +3σ]. Korištenjem statističke interpretacije vjerojatnosti možemo zaključiti
da će, prilikom puno nezavisnih realizacija ove slučajne varijable, njih oko 99.7% pasti
unutar tog intervala.
Odredite najkraći simetričan interval oko očekivanja za koji možemo tvrditi da će sadržati
barem 95% realizacije ove slučajne varijable prilikom puno nezavisnih ponavljanja pokusa.
(Iskoristite računalo!)
Poissonova distribucija
Slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ>0 ako
prima vrijednosti iz skupa {0, 1, 2,...} s vjerojatnostima
−λ λi
pi = P {X = i} = e
i! .
Izračunajmo očekivanje i varijancu Poissonove slučajne varijable:
EX =
∞�
i=0
i e−λ λ i
i!
= e−λ
∞�
i=0
i λi
i!
= e−λ
∞�
i=1
i=2
i=1
= λe −λ [λe λ + e λ ]=λ(λ +1),
λ λi−1
(i − 1)! = λe−λ e λ = λ.
EX 2 =
∞�
i
i=0
2 e−λλi ∞� λ
= e−λ i
i!
i=1
i
(i − 1)! =
= λe −λ
∞�
(i − 1+1)
i=1
λi−1
(i − 1)! =
= λe −λ
�
∞� λ
λ
i−2
(i − 2)! +
∞� λi−1 �
=
(i − 1)!