Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
4.4.2 Μέθοδοι πεπερασµένων διαφορών
Η συνήθης µέθοδος για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων όπως οι :
και
170
mr �� i i=
f
i
Εξίσωση 4.36
r � =
Εξίσωση 4.37
i pi mi
είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών. ∆οθέντος των ατοµικών θέσεων, ταχυτήτων
και άλλων δυναµικών χαρακτηριστικών της χρονικής στιγµής t, επιχειρείται να υπολογιστούν
οι θέσεις, οι ταχύτητες κτλ σε µια µετέπειτα χρονική στιγµή t + δt µε ένα ικανοποιητικό
βαθµό ακρίβειας. Οι εξισώσεις λύνονται πολυβηµατικά µε την επιλογή του χρονοβήµατος δt
να εξαρτάται από τη µέθοδο επίλυσης. Όµως πάντα το δt πρέπει να είναι αρκετά µικρότερο
από τον τυπικό χρόνο που απαιτείται για ένα άτοµο να διασχίσει το ίδιο του το µήκος [1].
Πολλοί διαφορετικοί αλγόριθµοι εντάσσονται στο γενικό πρότυπο της µεθόδου των
πεπερασµένων διαφορών [11]-[14]. Οι κυριότερες και συχνότερα απαντώµενες σε µελέτες,
µέθοδοι πεπερασµένων διαφορών, είναι ο αλγόριθµος Verlet και ο Gear predictor- corrector.
Η πιο συνήθης µέθοδος ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης είναι αυτή του Verlet [15]. Η
µέθοδος αυτή είναι µια ευθεία επίλυση των εξισώσεων δεύτερης τάξης Χ. Ο αλγόριθµος
βασίζεται στις θέσεις r(t), τις επιταχύνσεις a(t) και τις θέσεις r(t - δt) από το προηγούµενο
βήµα. Η εξίσωση υπολογισµού των νέων θέσεων έχει ως εξής:
= 2 − + δt
2
r(t + δt) r(t) r(t - δt) a(t) Εξίσωση 4.38
Στην παραπάνω εξίσωση παρατηρείται πως δεν απαιτούνται οι ταχύτητες για τον υπολογισµό
των τροχιών για αυτό και απουσιάζουν. Όµως οι ταχύτητες είναι απαραίτητες για τον
υπολογισµό της κινητικής ενέργειας συνεπώς και της ολικής ενέργειας. Έτσι οι ταχύτητες
εξάγονται απο την εξίσωση που ακολουθεί.
−
=
2δ t
r(t + δt) r(t - δt)
v(t) Εξίσωση 4.39