Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
192
2 ∆ E+ K 2 ∆E
v v Εξίσωση 4.94
New
i
2*
i * = ( ) = +
* *
i
mi D mi D
Εφαρµογή Τροποποιηµένου αλγορίθµου Leapfrog Verlet
Ο αλγόριθµος Leapfrog επαναλαµβάνεται κατά την διάρκεια της ακτινοβολίας για κάθε
χρονόβηµα δt καθώς και µετά το πέρας αυτής, µέχρι να ισορροπήσει ξανά το σύστηµα. Η
διαδικασία είναι ακριβώς ίδια µε το προηγούµενο στάδιο όπου εφαρµόζεται ο αλγόριθµος.
Όπου
New
n
v = v + a δt
Εξίσωση 4.95
New New New
n+ 1/2 n−1/2 n
x + = x + v δt
Εξίσωση 4.96
New New New
n 1 n n
x and New
α είναι η θέση και η επιτάχυνση την χρονική στιγµή n, New
v η ταχύτητα
n
την χρονική στιγµή ν+1/2 και δt το χρονόβηµα.
Και σε τρισδιάστατη µορφή, λόγω της φύσης του προβλήµατος:
⎡v ⎤ ⎡v ⎤ ⎡a ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢v ⎥ ⎢v ⎥ ⎢a ⎥ δt
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣v ⎦ ⎣v ⎦ ⎣a ⎦
New New New
ix ix ix
New
iy =
New
iy +
New
iy
New New New
iz n+ 1/2 iz n−1/2 iz n
New New New
⎡x ⎤ ⎡ i x ⎤ ⎡ i v ⎤ ix
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
New New New
⎢yi ⎥ = ⎢yi ⎥ + ⎢viy ⎥ δt
⎢
z
⎥ ⎢
z
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣v⎦ New New New
i
n+ 1
i
n iz n+
1/2
n+1/2
Εξίσωση 4.97
Εξίσωση 4.98
Ακολουθώντας την ίδια λογική, όπως και στο τµήµα της αρχικής εξισορρόπησης, οι θέσεις
είναι γνωστές στους χρόνους n, n+1, n+2, … αλλά οι ταχύτητες στα n-1/2, n+1/2, n+3/2, … .
Συνεπώς η ∆υναµική ενέργεια και η Κινητική δεν µπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα.
Εποµένως απαιτείται η χρήση µιας επιπρόσθετης εξίσωσης για τον υπολογισµό των νέων
ταχυτήτων των σωµατίδιων που δεν έχουν αποµακρυνθεί σε ακέραιο αριθµό χρονοβηµάτων.
New New
New v n+1/2 +vn-1/2
v n =
Εξίσωση 4.99
2