Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
174
=
2
n+1/2 n-1/2 v +v
v n
Εξίσωση 4.44
⎡v ⎤ ⎡
ix v ⎤ ⎡
ix v ⎤
ix
⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ 1⎢
⎥
⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ + ⎢viy ⎥
⎢
2 2
v
⎥ ⎢
v
⎥ ⎢
v
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
iy
n
iy
n+ 1/2
iy
n−1/2
Εξίσωση 4.45
Για τον τροποποιηµένο Verlet η θέση των ατόµων (x, y, z), η ταχύτητα, (vx, vy, vz,) και η
επιτάχυνση (ax, ay, az) απαιτούνται για την υλοποίηση του. Παρότι η θέση είναι γνωστή από
το πρώτο βήµα (αρχική, BCC ή FCC, κρυσταλλική δοµή πλέγµατος) και η ταχύτητα από το
δεύτερο βήµα (κατανοµή ταχυτήτων), η επιτάχυνση είναι άγνωστη και συνεπώς πρέπει να
υπολογιστεί. Για τον υπολογισµό της επιτάχυνσης απαιτείται πρώτα η δύναµη που ενεργεί
πάνω στο άτοµο, του οποίου η επιτάχυνση ζητείται. Άρα προηγείται ο υπολογισµός της
δύναµης. Η ολική δύναµη που ενεργεί πάνω σε κάθε άτοµο υπολογίζεται αθροίζοντας τα
διανύσµατα των δυνάµεων από τα γειτονικά άτοµα. Εάν ο αριθµός των ατόµων είναι Ν, τότε
ο ολικός αριθµός των δυνάµεων είναι Ν(Ν-2). Εξ’αυτών µόνο οι Ν(Ν-2)/2 πρέπει να
υπολογιστούν γιατί Fij= - Fij. Εποµένως η δύναµη δίνεται από:
όπου
r −r ∂
r −r
F i = ∑ = ∑
Εξίσωση 4.46
N N
i j j i
Pr i() r fij
j= 1 rij ∂r
j=
1 rij
j≠i j≠i ∂
fij =− Pr i ( ij )
∂r
ij
Εξίσωση 4.47
αφού η δύναµη είναι η µερική παράγωγος της δυναµικής ενέργειας ως προς την απόσταση.
Όπως προαναφέρθηκε η προσοµοίωση είναι τρισδιάσταση, συνεπώς και ο υπολογισµός της
δύναµης πρέπει να είναι τρισδιάστατος. Τα i, j, k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα, fij το µέτρο
της δύναµης και οι λόγοι (xj-xi)/rij, (yj-yi)/rij και (zj-zi)/rij είναι τα συνηµίτονα κατεύθυνσης.