Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο
µε δεδοµένες τις συνθήκες ri(0), ŕi(0). Αυτό είναι ένα πρόβληµα αρχικών τιµών, το οποίο
µετατρέπεται σε ένα σύστηµα συζευγµένων απλών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης µε
την αντικατάσταση:
i
i
i i
r = v i=1,2,....,N
Εξίσωση 6.2
i 1
v i = F i(r1, r 2, ....r N),
i=1,2,....,N
Εξίσωση 6.3
m
µε αρχικές συνθήκες ri(0), νi(0). Με y ≡ [r v] T , το παραπάνω σύστηµα έχει τη γενική µορφή
i
y = f(, t y )
Εξίσωση 6.4
µε δεδοµένο y(0). Όπως είναι γνωστό από προβλήµατα αρχικών τιµών, υπάρχει πληθώρα
µεθόδων πεπερασµένων διαφορών για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης [4]. Γενικά η
ανεξάρτητη µεταβλητή που είναι ο χρόνος απότελεί και σηµείο αναφοράς κατά µήκος της
οποίας κινούνται όλες οι υπόλοιπες µεταβλητές µε πεπερασµένα βήµατα δt. Το µήκος του
πεπερασµένου βήµατος µπορεί να είναι σταθερό ή να προσαρµόζεται κατά τη διάρκεια της
αριθµητικής επίλυσης. Η αριθµητική έκφραση για τον προσδιορισµό του y(t) καλείται nοστης
τάξης, όταν το σφάλµα είναι:
numerical exact
( )
⎡ n+
1⎤
ε = y − y =Ο δt
Εξίσωση 6.5
⎣ ⎦
Επιλέγοντας έναν αλγόριθµο για την ολοκλήρωση των παραπάνω εξισώσεων πρέπει να
προσέξουµε µερικά χαρακτηριστικά που διαφοροποιούν τη Μ∆ από άλλα προβλήµατα
αρχικών συνθηκών. Μερικά απo αυτά καταγράφονται παρακάτω:
• Το τµήµα της Μ∆ που απαιτεί τον περισσότερο υπολογιστικό χρόνο είναι η
εκτίµηση των δυνάµεων πάνω στα σωµατίδια. Ένα καλό κριτήριο για την
απόδοτικότητα ενός αλγορίθµου Μ∆ είναι ο λόγος:
Number of Forces Evaluated
Simulation Time
Εξίσωση 6.6
205