Κεφάλαιο 1 - Nemertes

• Τροποποιηµένος Αλγόριθµος Verlet (Leapfrog) και Υπολογισµός ∆υνάµεων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 o
Στο συγκεκριµένο στάδιο το σύστηµα δεν θεωρείται ότι έχει φτάσει σε κατάσταση
ισορροπίας, συνεπώς για να έχουµε ισορροπία απλά εκτελούνται υπολογισµοί Μ∆ για έναν
ικανοποιητικό αριθµό χρονοβηµάτων. Για την επίλυση των εξισώσεων της κίνησης
χρησιµοποιείται ένας συνηθισµένος δεύτερης τάξης αλγόριθµος, ο τροποποιηµένος Verlet,
γνωστός και ως Leapfrog Verlet. Η µέθοδος Leapfrog είναι ένα χρονόσχηµα όπως
ακολουθεί:
v = v + α δt
Εξίσωση 4.40
n+1/2 n-1/2 n
x = x + v δt
Εξίσωση 4.41
n+1 n n+1/2
όπου xn και an είναι η θέση και η επιτάχυνση n, un+1/2 η ταχύτητα στο χρόνο n+1/2 και το Dt
είναι το χρονόβηµα. Η προσοµοίωση Μ∆ είναι τρισδιάταση και συνεπώς οι προηγούµενοι
αλγόριθµοι γράφονται για το i άτοµο ως:
⎡vix ⎤ ⎡vix ⎤ ⎡aix ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ + ⎢aiy ⎥ δt
⎢v ⎥ ⎢v ⎥ ⎢a ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
iz n+ 1/2 iz n−1/2 iz n
⎡xi⎤ ⎡xi⎤ ⎡vix⎤ ⎢
y
⎥ ⎢
i y
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ i⎥ + ⎢viy⎥ δt
⎢⎣z ⎥⎦ ⎢⎣z ⎥⎦
⎢v⎥ ⎣ ⎦
i n+ 1 i n iz n+
1/2
Εξίσωση 4.42
Εξίσωση 4.43
Στον αλγόριθµο Leapfrog οι θέσεις είναι γνωστές στους χρόνους n, n+1, n+2, … αλλά οι
ταχύτητες στους n-1/2, n+1/2, n+3/2, … . Συνεπώς η ∆υναµική Ενέργεια και η Κινητική δεν
µπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα. Μια επιλογή είναι η χρησιµοποίηση µιας
επιπρόσθετης εξίσωσης για τον υπολογισµό των ταχυτήτων σε ακέραιο αριθµό
χρονοβηµάτων. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο υπολογισµός αυτός κάνει τον Leapfrog τόσο
χρονοβόρο όσο και τον απλό Verlet, όσον αφορά των αριθµό των διαδικασιών και την
αποθήκευση αποτελεσµάτων.
173