Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
186
Σχηµα 4.17: Κάτοψη x-y της κατανοµής Gauss για ασυσχέτιστες µεταβλητές x, y (ρ=0)
Άρα η δισδιάστατη κατανοµή Gauss µπορεί να γραφεί ως:
2 2
a ⎡ c ac
2 2 ⎤
f ( xy , ) = exp 2 ⎢− ⎡x + y⎤
2
8πrb 8r
⎣ ⎦⎥
⎣ b ⎦
Εξίσωση 4.80
Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα φωτόνιο στη θέση (x,y) δίνεται από την ολοκλήρωση της
παραπάνω εξίσωσης από x-ra σε x+ra και από y-ra σε y+ra, όπου ra είναι η ακτίνα του
ατόµου. Είναι γνωστό πως η διαδικασία αυτή είναι χρονοβόρα, για αυτό η δισδιάστατη
Gauss κατανοµή κανονικοποιείται. Πρέπει να σηµειωθεί πως όταν γίνεται αναφορά για
πιθανότητα να υπάρχουν φωτόνια σε µία θέση αναφέρεται στο ποσοστό των φωτονίων σε
αυτή τη θέση σε σχέση µε τα φωτόνια που υπάρχουν σε ολόκληρο το επίπεδο x-y
προσοµοίωσης. Ο ολικός αριθµός φωτονίων σε ένα επίπεδο δίνεται από την Εξίσωση 4.74
που εξήχθη ως άµεση συνέπεια του νόµου Beer-Lambert. Συνεπώς η πιθανότητα ύπαρξης
φωτονίου στην θέση (x, y) δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:
Π( x −r ≤ X ≤ x+ r , y−r ≤Y ≤ y+ r ,)
Εξίσωση 4.81
Και σε κανονικοποιηµένη µορφή:
α α α α
x−r y r x x x
y Y y y r
α −µ X − µ x+ rα −µ
− α −µ − µ + α −µ
y
Π( ≤ ≤ , ≤ ≤ ) Εξίσωση 4.82
σ σ σ σ σ σ
x x x y y y
Λαµβάνοντας υπόψη τις Εξισώσεις 4.78 και 4.79 τότε η 4.82 γίνεται: