Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ
70
2 ⎟ ⎛ m ⎞
B = ⎜
⎝ πκ BT
⎠
Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για ένα µονατοµικό αέριο είναι
f
( )
3 / 2
3 / 2
2 2 2
( υ + υ υ )
Εξίσωση 2.33
⎛ m ⎞ ⎡ m
⎤
x y + z
v = ⎜
⎟ exp⎢−
⎥
Εξίσωση 2.34
⎝ 2πκ
BT
⎠ ⎢⎣
2κ
BT
⎥⎦
η οποία καλείται κατανοµή Maxwell. Με αυτή τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
µπορούµε να υπολογίσουµε άλλες αναµενόµενες τιµές (ή µέσες τιµές). Για παράδειγµα, η µέση
ενέργεια (εσωτερική ενέργεια) ενός µονατοµικού αερίου στοιχείου είναι
2 2 2
( υ + υ υ )
∞ ∞ ∞
m
m
m x y z
E ∫ dυ
x ∫ dυ
y ∫ ( υ x υ y υ z )
dυ
z
πκ BT
κ BT
−∞
−∞
−∞
⎥ ⎥
⎡ + ⎤
2 2 2 ⎛ ⎞
=
+ + ⎜
⎟ exp⎢−
2
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣
2 ⎦
3 / 2
Εξίσωση 2.35
Μετατρέποντας τις καρτεσιανές συντεταγµένες σε πολικές συντεταγµένες, η παραπάνω
ολοκλήρωση γίνεται πολύ πιο εύκολη. Το τελικό αποτέλεσµα είναι
3
= κ T
Εξίσωση 2.36
2
E B
Η παραπάνω έκφραση δηλώνει ότι η θερµοκρασία είναι ένα µέτρο της µέσης κινητικής
ενέργειας για ένα µονατοµικό αέριο. Το θεώρηµα equipartition για κλασικές καταστάσεις
συστηµάτων δηλώνει, ότι σε κατάλληλα υψηλές θερµοκρασίες (τέτοιες ώστε να ισχύει η
κατανοµή Boltzmann) κάθε δευτεροβάθµιος όρος της µοριακής ενέργειας προσδίδει στο µόριο
µέση ενέργεια κ T / 2 . Για ένα µονατοµικό αέριο κάθε άτοµο έχει τρεις δευτεροβάθµιες
B
ενεργειακές συνιστώσες από τη µεταφορική του κίνηση, όπως φαίνεται και στην Εξίσωση 2.31
έτσι, ώστε η συνολική κινητική του ενέργεια να είναι 3κ T / 2 . Όταν τα ενεργειακά επίπεδα
δεν είναι συνεχή, ο παράγοντας κανονικοποίησης B στην Εξίσωση 2.30 µπορεί να
προσδιοριστεί όπως γίνεται στην εξαγωγή της κατανοµής Maxwell. Η πυκνότητα πιθανότητας
των ηλεκτρονίων υπακούει στην κατανοµή Fermi-Dirac και τα phonon και φωτόνια στην
κατανοµή Bose-Einstein,
B