You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο<br />
ιδιότητες υπολογίζονται ως µέσες τιµές ποσοτήτων που χαρακτηρίζουν τις µοριακές<br />
απεικονίσεις, ως προς µια κατανοµή πιθανοτήτων των απεικονίσεων που υπαγορεύεται από<br />
τους εξωτερικούς περιορισµούς που επιβάλλονται στο σύστηµα (κατανοµή στατιστικού<br />
συνόλου ισορροπίας). Στον υπολογισµό τέτοιων µέσων τιµών είναι πολύτιµος ο αλγόριθµος<br />
Monte Carlo κατά Metropolis [19]. Ο αλγόριθµος Metropolis δηµιουργεί µια ακολουθία<br />
απεικονίσεων που ασυµπτωτικά δειγµατοληπτεί την επιθυµούµενη κατανοµή πιθανοτήτων.<br />
Ως παράδειγµα του τρόπου λειτουργίας της µεθόδου επιλέγεται ένα σύστηµα στο κανονικό<br />
στατιστικό σύνολο, το οποίο αποτελείται από Ν µόρια όγκου V και θερµοκρασίας Τ<br />
(µακροσκοπικοί περιορισµοί σταθερών Ν, V, Τ). Επιχειρείται µια κίνηση στην οποία ένα<br />
τυχαία επιλεγµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται κατά µία µικρή τυχαία απόσταση. Κατόπιν<br />
υπολογίζεται η αλλαγή στη δυναµική ενέργεια του συστήµατος συνεπεία αυτής της κίνησης.<br />
Αν η κίνηση έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση της συνολικής δυναµικής ενέργειας του<br />
συστήµατος, γίνεται αποδεκτή και το σωµατίδιο µετατοπίζεται στη δοκιµαστική θέση. Αν<br />
όµως η δοκιµαστική κίνηση έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της ενέργειας του συστήµατος,<br />
τότε η κίνηση γίνεται αποδεκτή µε την ακόλουθη πιθανότητα:<br />
P = exp[ −β∆ V]<br />
Εξίσωση 2.6<br />
accept<br />
όπου ∆V η µεταβολή στη δυναµική ενέργεια. Για τη δειγµατοληψία µε βάση αυτή την<br />
κατανοµή επιλέγεται ένας τυχαίος αριθµός από το διάστηµα [0,1). Αν ο τυχαίος αυτός<br />
αριθµός είναι µικρότερος από το exp[ −β∆ V ] τότε η κίνηση γίνεται δεκτή. ∆ιαφορετικά η<br />
κίνηση δεν γίνεται αποδεκτή. Η πιθανότητα αποδοχής µπορεί να γραφτεί σε µια περισσότερο<br />
συµπαγή µορφή ως:<br />
P = min(1,exp[ −β∆ V])<br />
Εξίσωση 2.7<br />
accept<br />
Εάν η κίνηση γίνει αποδεκτή, η νέα απεικόνιση (µε µετατοπισµένο το µόριο) λαµβάνεται ως<br />
τρέχουσα απεικόνιση του συστήµατος. Εάν όµως η κίνηση απορριφθεί, διατηρείται η<br />
προηγούµενη απεικόνιση (πριν από τη µετατόπιση) ως τρέχουσα απεικόνιση. Με την<br />
ολοκλήρωση της δοκιµαστικής κίνησης ενηµερώνονται τα αθροίσµατα για τον υπολογισµό<br />
µέσων όρων των µεταβλητών (π.χ. ενέργεια, πίεση, κατανοµή θέσεων και διαµορφώσεων)<br />
και λαµβάνει χώρα µία νέα δοκιµή χρησιµοποιώντας τα χαρακτηριστικά της τρέχουσας<br />
απεικόνισης. Μετά από πολλές τέτοιες επαναλήψεις ο αλγόριθµος Metropolis εξασφαλίζει<br />
21
Change language