Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesungsskript WS/SS 99-00

4.1. Formale Algorithmenmodelle
Diese Betrachtung legt folgendes nahe. Gehen wir von einer Konfiguration aus,
die im Befehlsregister eine 1 enthält, d.h. es wird mit der Abarbeitung des Programms
beim ersten Befehl begonnen, und in den beiden ersten Speicherregistern
zwei natürliche Zahlen Ò und Ñ enthält, so steht nach Abarbeitung des Programms
(genauer: in der sich nicht mehr verändernden Konfiguration, die bei Erreichen der
END-Anweisung erreicht wird) im dritten Speicherregister der Rest bei der ganzzahligen
Division von Ò durch Ñ. Daher ist es naheliegend zu sagen, daß die gegebene
Registermaschine - genauer die durch das Programm gegebene Registermaschine -
die Funktion Ö Ö×Ø Ò Ñ berechnet, die durch
Ö Ö×Ø Ò Ñ genau dann, wenn ÖÒund Ò ÕÑ Ö für ein Õ Æ
gegeben ist.
Wir verallgemeinern diese Idee in der folgenden Definition.
Definition 4.2 Eine Registermaschine Å berechnet die Funktion Æ Ò Æ Ñ
mit Ü Ü ÜÒ Ý Ý ÝÑ , wenn es Zahlen Ñ so gibt, daß
Å jede Konfiguration Ü Ü ÜÒ in eine Konfiguration
überführt, für die die Nummer einer END-Anweisung ist und Ý für Ñ
gilt.
Intuitiv bedeutet dies folgendes: Die Registermaschine beginnt die Abarbeitung
ihres Programms mit dem ersten Befehl, wobei die Argumente bzw. Eingaben der
Funktion in den ersten Ò Speicherregistern Ò stehen. Sie beendet ihre
Arbeit bei Erreichen eines END-Befehls und die Resultate bzw. Ausgaben stehen in
den vorab festgelegten Speicherregistern Ñ.
Die arithmetischen Grundfunktionen lassen sich in diesem Sinn einfach berechnen.
Z.B. berechnet die Registermaschine mit dem Program
1 LOAD 1
2 ADD 2
3 STORE 3
4 END
aus den Werten Ü und Ý in den Registern und die Summe Ü Ý und legt diese
im Register ab, realisiert also mit die Addition. Analog verfährt man bei
den anderen Operationen.
Beispiel 4.2 Wir betrachten die Registermaschine Å mit dem Programm
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