Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesungsskript WS/SS 99-00

4. Eigenschaften von Algorithmen
4.3.3. Schleifeninvarianten
Um eine Bedingung über eine Schleife der Form
VOR
while B do ¬ od
NACH
zu überprüfen, müssen wir eine Schleifeninvariante È finden, die auch bei mehrfachen
Schleifendurchläufen jeweils ihre Gültigkeit bewahrt. Im Einzelnen müssen
wir dann folgendes prüfen:
1. ÎÇÊ È.
Die Vorbedingung garantiert die Gültigkeit von È beim ersten Eintritt in die
Schleife.
2. È «È .
Der Schleifenrumpf bewahrt die Schleifenvariante (nur in den Fällen notwendig,
in denen der Rumpf tatsächlich durchlaufen wird).
3. È ÆÀ.
4.3.4. Korrektheit imperativer Algorithmen an Beispielen
Beispiel 4.16 Wir betrachten als Beispiel den Algorithmus MULT, der die Multiplikation
nur mittels Addition und Subtraktion realisiert.
MULT: var W,X,Y,Z : int ;
input X, Y
Z:=0;
W:=Y;
while W 0 do Z:=Z+X; W:=W-1 od;
output Z.
Der Schleifenrumpf sei wieder mit ¬ bezeichnet.
¯ Vorbedingung:
¯ Nachbedingung: £
¯ Schleifeninvariante: È £ Ï£
Zu beweisen:
92
1. Ï £ Ï £ £
È gilt vor dem ersten Schleifendurchlauf!