Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesungsskript WS/SS 99-00

4. Eigenschaften von Algorithmen
zu 1. Mit den Werten Ï nach « gilt dort È
zu 2. Offenbar gilt:
Ï Ï ¬
Ï ¡ ¬
Ï ¡ ¡
¡ ¬ ¡ ¡
¬
Hieraus folgt insgesamt È Ï ¬ È
zu 3. È Ï ÆÀ
Damit ist die partielle Korrektheit bewiesen. Man beachte, daß hierfür die Bedingung
nicht benötigt wurde. Sie wird erst zu Beweis der Terminierung
benötigt.
Hierzu zeigen wir, daß für den Wert von Ù Ï gilt:
1. Ï Ù , d.h. Ù bleibt bei allen Schleifendurchläufen nichtnegativ.
2. Ù wird bei jedem Schleifendurchlauf echt kleiner.
Haben wir dies bewiesen, so folgt daraus, daß es nur endlich viele Schleifendurchläufe
geben kann, daß XYZ also (bzgl. VOR) terminiert.
zu 1. Dies ist offensichtlich.
zu 2. Sei Ù der Wert unmittelbar vor Ablauf von ¬, und sei Ù
der Wert unmittelbar danach. Dann gilt:
Ù Ï
Ù Ï Ï
Da ist (!), ist Ù Ù
Dies vervollständigt der Beweis der totalen Korrektheit von XYZ bzgl. VOR und
NACH.
4.3.5. Korrektheit applikativer Algorithmen
Für den Nachweis von Eigenschaften — wie z.B. der Korrektheit — applikativer
Algorithmen verwendet man typischerweise Induktionsbeweise, die der Struktur
der rekursiven Funktionsdefinition folgen.
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