Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesungsskript WS/SS 99-00

4. Eigenschaften von Algorithmen
Wegen der grundlegenden Bedeutung des Halteproblems für die Theorie der Entscheidbarkeit
wollen wir zunächst einen “anschaulichen” Beweis für seine Nicht-
Entscheidbarkeit liefern.
Angenommen, wir hätten eine Maschine (Algorithmus) STOP mit zwei Eingaben,
nämlich einem Algorithmentext x und einer Eingabe y für x, sowie zwei Ausgaben:
JA: x stoppt bei Eingabe von y
NEIN: x stoppt nicht bei Eingabe von y
Graphisch dargestellt:
x
y
STOP
JA
NEIN
Mit dieser Maschine STOP könnten wir dann eine neue Maschine SELTSAM
konstruieren:
x
SELTSAM
x
x
STOP
JA
NEIN
Bei Eingabe von x wird getestet, ob x bei Eingabe von x stoppt. Im JA-Fall wird
in eine Endlosschleife gegangen, die nie anhält. Im NEIN-Fall hält SELTSAM an
mit der Anzeige OK.
Nun geben wir SELTSAM als Eingabe für sich selbst ein und fragen:
Hält SELTSAM bei der Eingabe von SELTSAM?
1. Wenn ja, so wird der JA-Ausgang von STOP angelaufen und SELTSAM gerät
in die Endlosschleife, hält also nicht. Widerspruch!
2. Wenn nein, so wird der NEIN-Ausgang von STOP angelaufen und SELTSAM
stoppt mit OK. Widerspruch!
Diese Widersprüche folgen aus der Annahme, daß eine STOP-Maschine existiert,
was daher verneint werden muß.
86
OK