Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesungsskript WS/SS 99-00

4. Eigenschaften von Algorithmen
Dann ist für , also ist für immer .
kommt demnach in der obigen Folge nicht vor. Offensichtlich ist aber eine einstellige
Funktion auf und müßte somit in der obigen Folge aller dieser Funktionen
vorkommen. Der Widerspruch läßt sich nur lösen, wenn wir die Annahme fallenlassen,
sei abzählbar.
Berechenbare Funktionen sind also unter allen Funktionen genauso “seltene”
Ausnahmen wie ganze (oder natürliche oder rationale) Zahlen unter den reellen.
Bemerkung 4.5 Die obige Beweismethode ist unter dem Namen “Cantorsches Diagonalverfahren”
bekannt. Auf ähnliche Weise hat Cantor erstmals bewiesen, daß
die reellen Zahlen überabzählbar sind.
Nachdem wie wissen, daß berechenbare Funktionen eher seltene Ausnahmen
sind, ist die Frage naheliegend, ob sich nicht-berechenbare Funktionen konkret
angeben lassen. Um zu beweisen, daß eine gegebene Funktion berechenbar ist,
braucht man nur einen Algorithmus anzugeben, der sie berechnet. So schwierig
dies in Einzelfall sein mag, so ist es doch prinzipiell schwieriger zubeweisen,
daß eine gegebene Funktion nicht berechenbar ist. Die erfordert nämlich eine Beweisführung,
über alle denkbaren und möglichen Algorithmen!
Derartige Ergebnisse über Algorithmen lassen sich nur gewinnen, wenn man
den Begriff des Algorithmus mit hinreichender mathematischer Genauigkeit definiert,
wie dies am Anfang dieses Kapitels geschah.
4.2.2. Konkrete Nicht-berechenbare Funktionen
Nun kehren wir zu dem Problem zurück, eine nicht berechenbare Funktion konkret
anzugeben. Wir benutzen dazu ein beliebiges Algorithmenmodell, welches folgenden
Kriterien genügt:
1. Berechnet werden partielle Funktionen £ £ über einem festen Alphabet
.
2. Auch die Algorithmen selbst lassen sich als Text über darstellen.
Damit können Algorithmentexte wiederum als Eingaben für Algorithmen genommen
werden!
Bemerkung 4.6 Z.B. lassen sich Markov-Algorithmen leicht als Text über einem
geeigneten Alphabet codieren. Codierungen von Algorithmen durch natürliche
Zahlen gehen auf K. Gödel (1931) zurück. Man spricht von “Gödelisierung”.
Definition 4.9 Sei Ü £ . Dann bezeichnet Ü die vom Algorithmus mit Text
Ü berechnete Funktion. Ist Ü kein sinnvoller Algorithmentext, so sei Ü überall
undefiniert.
84