Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E Eine ...

A.3. DARSTELLUNG ALLER GLEICHUNGEN EINES NETZES 157
Das Kirchhoff’sche Gesetz (A.3) kann matriziell wie folgt formuliert
werden:
C ·UKirchho f f −UNtor = 0 (A.4)
wobei UNtor der Vektor der komplexen Spannungen der Anschlüsse aller
Ntore darstellt. Der Vektor UKirchof f repräsentiert die komplexen Knotenspannungen
aller Kirchhoff-Knoten.
Die Matrix C ist eine Inzidenzmatrix, deren Elemente Ckm wie folgt ge-
bildet werden:
Ckm =
⎧
⎨
⎩
1:der m-te Ntor-Anschluss ist mit dem
Kirchhoff-Knoten k verbunden
0:sonst
Die Matrix C hat die Dimension Anzahl Anschlüsse aller Ntore · Anzahl
Kirchhoff-Knoten. Vertikal sind die Anschlussnummern m aller Ntore in
der Reihenfolge R aufgezählt und horizontal die Nummern aller Kirchhoff-
Knoten k.
Konvention 1 Die Reihenfolge der Variablen in INtor und UNtor wird durch
die Reihenfolge R der Anschlüsse in der C-Matrix festgelegt.
Das Kirchhoff’sche Gesetz (A.2) kann mit derselben Matrix C formuliert
werden:
C T · INtor −IKirchho f f = 0 (A.5)
Da aber IKirchho f f = 0 gilt, folgt noch einfacher:
C T · INtor = 0 (A.6)
A.3 Darstellung aller Gleichungen eines Netzes
Folgend den Konvention (1) für INtor und UNtor können alle Ntor-Gleichungen
zusammen in Matrixform geschrieben werden:
diag(MUi )UNtor +diag(MIi )INtor = b (A.7)
wobei diag(MUi ) die blockdiagonale Form aller einzelner NxN - Matrizen
MUi , diag(MIi ) die blockdiagonale Form aller einzelner NxN - Matrizen
MIi und der Vektor b die Blockvektorform aller einzelner Vektoren bi aller
N-Tore darstellt.
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