Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E Eine ...

34 KAPITEL 3. NETZMODELLIERUNG UND NETZBERECHNUNG
g(x )
k
g(x)
xk+1
Abbildung 3.3: Eindimensionale Darstellung des Newton-Raphson-Verfahrens
Das Gauss-Seidel Verfahren liefert den Wert xk i , der die Approximation
von xi bei der Iteration k darstellt:
x k i = gi(x k 1 ,xk2 ,···,xki−1 ,xk−1
i+1 ,···,xk−1 N ) (3.1)
Falls die Bedingung
Δx k i = |xki − xk−1 i | < ε ∀i
erfüllt ist, hat das Verfahren konvergiert und eine Lösung gefunden.
Das Gauss-Seidel Verfahren ist ein Relaxations-Verfahren. Es konvergiert
schlecht oder gar nicht, falls ein Netz mehr als 100 Knoten aufweist.
Die Methode wird kaum noch in der Praxis angewandt. Das Verfahren
würde sich jedoch sehr einfach in einem objekt-orientierten Design implementieren
lassen. In [5] und in veränderter, konzeptionell aber ähnlicher
Form in [24] wird dieses Verfahren benutzt, um damit einen knotenorientierten
Netzberechnungs-Algorithmus zu formulieren. Es zeigt sich,
dass der Datenaustausch genau der Topologie des Netzes folgt, was in der
objekt-orientierten Welt bedeutet, dass nur benachbarte Objekt miteinander
kommunizieren müssen.
Das Newton-Raphson-Verfahren
Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E
(4)
(3)
Um die eindimensionale, nichtlineare Gleichung
g(x)=0
x k
(2)
(1)
x