Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E Eine ...

3.1. DOMÄNENANALYSE 35
zu lösen, wird die Funktion in einer Taylor-Reihe um den Punkt xk entwickelt,
so gilt:
g(x)=g(xk)+ ∂g(x)
(x−xk)+Terme höherer Ordnung
∂x x=xk
Bricht man die Reihe nach dem Term 1. Ordnung ab, erhält man für die
Lösung eine bessere Approximation:
xk+1 = xk + Δx
wobei
∂g(x)
−1
Δx = − · g(xk) (3.2)
∂x x=xk
Dieser iterative Prozess wird solange fortgesetzt bis das Konvergenzkriterium
|g(xk)| < ε
erfüllt ist. Je mehr sich die Funktion einer Geraden annähert desto schneller
und zuverlässiger konvergiert das Verfahren unter der Voraussetzung,
dass der Startpunkt nahe genug bei der Lösung gewählt wurde.
Stellt man die Funktion y = g(x) graphisch dar (siehe Abbildung 3.3),
so kann die Lösung visuell einfach festgestellt werden: Dort, wo die Kurve
die x-Null-Achse schneidet, d.h. dort wo y = 0, ist die gesuchte Lösung
für x.
Das Newton-Raphson-Verfahren nähert sich, ausgehend von einem numerisch
gegebenen Startwert xk (Punkt 1 in Abbildung 3.3) dieser Lösung
iterativ wie folgt:
Am Ort yk = g(xk) (Punkt 2) wird eine Tangente, in Abbildung 3.3
durch 3 gekennzeichnet, an die Kurve y = g(x) gelegt. Diese Tangente
(eine Gerade) schneidet die x-Achse am Ort xk+1 (Punkt 4). Für diesen
Wert wird der zugehörige Wert yk+1 = g(xk+1) bestimmt. Dann wird wieder
eine Tangente an die Kurve gelegt, der Schnittpunkt mit der x-Achse
festgestellt, usw.
Die Methode lässt sich auf beliebig grosse Gleichungssysteme
g(x,p)=0 (3.3)
anwenden. Die Tangente in Abbildung 3.3 ist in diesem Fall durch eine
tangentiale Fläche in einem N-dimensionalen Raum zu ersetzen. Die
Menge der Unbekannten wird dabei wie folgt verbessert:
xk+1 =xk + Δx
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