Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E Eine ...

158 ANHANG A. UMFORMUNG DER NTOR-GLEICHUNGEN
Man beachte, dass die Reihenfolge der Plazierung der Teilmatrizen MUi ,
MIi und der Elemente bi nicht mehr frei ist, sobald die Elemente der Vektoren
UNtor und INtor aufgesetzt sind. Dieser letzte Schritt wird durch das
Aufstellen der Matrix C definiert.
Es gilt (A.4), womit die Variablen UNtor immer eliminiert werden können.
Es entsteht das Gleichungssystem:
diag(MIi ) diag(MUi )·C
CT 0
·
Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-ETH 12317 Diss.-E
INtor
UKirchho f f
=
b
0
(A.8)
Im allgemeinen können nun keine weiteren Eliminationsschritte von immer
gleichartigen Blöcken von Variablen durchgeführt werden, da sowohl
die Matrix diag(MUi ) wie auch diag(MIi ) singulär sein können.
Unter der Annahme, dass diag(MIi ) nicht singulär ist, können die Variablen
INtor aus (A.8) eliminiert werden: Es folgt aus (A.8):
INtor = diag(MIi )−1 · b−diag(MUi )C·UKirchho
f f (A.9)
Dieser Ausdruck in die zweite Zeile von (A.8) eingesetzt ergibt:
C T diag(MIi )−1 diag(MUi )C·UKirchho f f = C T diag(MIi )−1 b (A.10)
Durch Setzen von
und
Y = C T diag(MIi )−1diag(MUi )C (A.11)
I o = C T diag(MIi )−1 b (A.12)
und
U = UKirchho f f
(A.13)
ist die normalerweise in der Theorie verwendete Darstellung mit Hilfe der
Knotenadmittanzmatrix
Y ·U = I 0
(A.14)
hergeleitet worden. Y stellt die Knotenpunktsadmittanzmatrix dar, U den
Vektor aller Knotenspannungen (genauer: Kirchhoff-Knotenspannungen)
und I 0 den Vektor aller gegebener (Kirchhoff-) Knotenströme.