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<strong>Kryptologie</strong> – Eine verschlüsselte Wissenschaft 39 Stanford Artificial Intelligence Laboratory on the paper that we were shortly to publish under the title ”New Directions in Cryptography” 36! when Marty called and explained exponential key exchange in its unnerving simplicity. Listening to him, I realized that the notion had been at the edge of my mind for some time, but had never really broken through.[2] Whitfield Diffie und Martin Hellman schlugen den sogenannten Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch in der Arbeit ”New Directions in Cryptography”[3] vor. Ihnen war klar, dass dies eine Revolution sei und gerade Whitfields Biographie verzeichnet eigentlich nur die Frage, wie man das Schlüsselproblem lösen kann. Das ging so weit, dass die NSA (”National Security Agency” der USA) ihn jahrelang verfolgte. Aber er wusste, dass über das Internet (damals noch ARPAnet) Menschen in Zukunft massenhaft Daten austauschen würden und jeder soll sie in Zukunft selbstständig schützen können. Die Privatsphäre muss gewahrt bleiben. Das gab ihm die Motivation trotz staatlicher Behinderung weiterzuforschen. Gemeinsam mit Hellman konnte er seinen Lebenstraum erfüllen: Das Schlüsselproblem zu lösen. 4.3.1 Die Durchführung Wir definieren drei Zahlen g, a und p, wobei nur die Bedingungen p ∈ P, a < (p − 1) und g < p erfüllt werden müssen. Wäre a = p − 1, so ergebe sich der kleine Satz von Fermat. Wir würden dann mit einem Fixpunkt verschlüsseln (deshalb schließt man diesen Fall aus). Als Beispiel nehmen wir 2, 5 und 7. p und g sind öffentliche Schlüssel, aber a behalten wir für uns (private key). Wir berechnen nun . . . α = g a mod p α = 2 5 mod 7 α = 4 Wir senden dieses α an Alice, während diese das Verfahren ebenfalls anwendet. Sie kennt g und p, aber da a privat ist, kennt sie es nicht. Sie sucht sich deshalb eine eigene Variable aus (b < (p − 1)). β = g b mod p β = 2 4 mod 7 β = 2 Alice sendet ihr β ebenfalls an Bob. Zur Übersicht nochmals: Nun berechnet Bob:
<strong>Kryptologie</strong> – Eine verschlüsselte Wissenschaft 40 Person Bob Alice bekannte Parameter g, p, α, β, a g, p, α, β, b x = β a mod p Und Alice berechnet: x = α b mod p Interessanterweise sind nun diese beiden Werte (x) genau gleich. Mit unseren Werten ergibt das: x = β a mod p = 2 5 mod 7 = 4 x = α b mod p = 4 4 mod 7 = 4 4.3.2 Beweis für das Diffie-Hellman-Verfahren Wir betrachten die zwei Sätze zur Berechnung: β = g b mod p x = β a mod p β ist der Rest einer Division von g b durch p. Es gibt also ein ganze Zahl k für die gilt: Diese Gleichung formen wir nach β um: g b = k·p + β β = g b − k·p Diese Gleichung setzen wir in die 2. Berechnung ein: x = (g b − k·p) a mod p x = (g b − k·p)·(g b − k·p)·(g b − k·p) . . . mod p
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