PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 57
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4.9.2 Square and multiply am Papier
Wer Square and Multiply am Papier rechnen möchte, braucht die Potenz als Binärzahl.
Das Umrechnen kann mit einer Tabelle erfolgen. Ich führe hier die Rechnung 123 84 mod
13 durch. Das Verfahren kann man ohne Modulo durchführen, indem man den Modulo
auch bei den Rechnungen weglässt.
64 32 16 8 4 2 1
84 1 0 1 0 1 0 0
Wie ist diese Zahl zustande gekommen? 12 = 1·10 1 + 2·10 0 = 12 10 und für binäre Zahlen
gilt äquivalent 12 = 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0 = 1100 2 . In der Tabelle habe ich die größte
Zahl 2 x angeschrieben, die kleiner als 84 ist. Unter diese Zahl kommt eine Eins. Danach
folgt die nächstkleinere (2 5 ). 64 + 32 > 84 und deshalb notiert man drunter eine Null.
Nach diesem System rechnet man bis 2 0 und erhält dann die binäre Zahl. Durch solche
Tabellen kann man binäre Zahlen sehr gut umrechnen. Für 84 gilt also 86 10 = 1010100 2 .
Wir nehmen die binäre Zahl und entfernen alle führenden Nullen (falls wir welche angeschrieben
haben). Danach entfernen wir noch die erste 1. Wir ersetzen alle 1en mit
”QM” und 0en mit ”Q”. Als Ergebnis erhalten wir einen Code wie ”QQMQQMQQ”.
Dies verwenden wir jetzt als Anweisung (Q = quadrieren und M = Multiplizieren). Nach
jeder Operation führen wir modulo 13 aus.
((((((((123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2
(((((((10) 2 )·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2
(((((9·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2
((((2 2 ) 2 )·123) 2 ) 2
. . .
1
123 84 mod 13 = 1
Durch dieses Verfahren ist die Potenz 2 notwendig und die Multiplikation mit der Basis.
Beides ist mit der Hand problemlos durchzuführen. Und der Computer benötigt nur so
viele Schritte, wie lang die Binärzahl ist. Sonst benötige er 83 Multiplikationen. . .