PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 68
kennt die Mathematik bereits und liefert einen Algorithmus, der die Gleichung lösen
kann: der erweiterte euklidische Algorithmus (den einfachen Euklid haben wir bereits in
Sektion 4.11.1 kennen gelernt).
Satz der Vielfachsummendarstellung:
Sei d der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b. Dann gibt es ganze
Zahlen x und y mit der Eigenschaft, dass
d = ax + yb
Erweiterter Euklidischer Algorithmus:
Berechne 1 = 71·d + 8·k.
71 = 8·8 + 7
8 = 1·7 + 1
7 = 7·1 + 0
Erhalten als Modulo-Wert (vierter Wert) 0 so beenden wir diese Rechnung. Aus der
letzten Zeile können wir denn ggT(71, 8) ablesen (dritter Wert). Wichtig ist, dass wir
das System bei der Rechnung stets weiterführen.
ggT(71, 8) = 1
Um jetzt unsere ursprüngliche Aufgabe zu erledigen, müssen wir sozusagen zurück rechnen.
1 = 8 − 1·7
1 = 8 − 1·(71 − 8·8) = 1·8 − 1·71 + 8·8 = −1·71 + 9·8
Und schon haben wir eine Gleichung, die unsere Aufgabenstellung erfüllt. Zugleich ist
es auch die Lösung, die mit den kleinsten Werten, die Gleichung erfüllt.
d = −1; k = 9