PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 54
ggT(m, x) = 1 ∧ x·y ≡ x·s mod m
⇒y ≡ s mod m
a n ≡ b n mod m
4.8.4 Eine weitere Rechenregel
Eine Zahl in einem Modulo-Kreis rotiert scheinbar. Hat sie einen bestimmten Wert erreichen,
fällt sie wieder zurück. Eine Rechenregel sagt aus (auch für unser Dezimalsystem 3 ),
dass wir die Einerstelle von riesigen Zahlen berechnen können, wobei wir selbst nie die
riesigen Zahlen ausrechnen zu brauchen.
30) Eine Folge ganzer Zahlen ist definiert durch a 0 = 1, a 1 = 2 und
a n+2 = a n + (a n+1 ) 2 für n ≥ 0. Der Rest von a 2009 bei Division durch 7
beträgt 4
A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 6
Bei Känguru der Mathematik 2009 selbst schaffte ich das Beispiel nicht, aber daheim
mit einem Skript ist die Lösung schnell berechnet.
#! / usr / bin /env python
def func ( index , a ) :
return a [ index −2] + ( a [ index −1])∗∗2
a = [ 1 , 2 ]
for i in xrange ( 2 , 1 5 ) :#2010):
tmp = func ( i , a )
a . append (tmp)
print i , tmp
print a [ 2 0 0 9 ] % 7
Wenn wir mit diesem Programm nach der Antwort suchen, wird unserer Rechner früher
heiß laufen, anstatt eine Lösung zu liefern. Wir können uns die Zahlenentwicklung anhand
der ersten Werte ansehen (in der linken Spalte stehen die Indizes)
3 Das Dezimalsystem rechnet einfach mit der Basis 10 und daher wird mit Modulo 10 gerechnet
4 frei zitiert nach Känguru der Mathematik 2009 vom 23.03.2009