PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 73
Der kleine Satz von Fermat 6 besagt für a ∈ R und p ∈ P mit ggT(a, p) = 1 (die letzte
Bedingung ist gegeben, da wir sagen müssen, dass a immer kleiner p − 1 sein muss):
a p−1 ≡ 1 mod p
bzw.
a q−1 ≡ 1 mod p
Wir halten fest, dass der linke Term durch p mit einem Rest dividierbar ist. Eine der
Rechenregeln aus der modularen Arithmetik 7 besagt. . .
a ≡ b mod m
⇒ a n ≡ b n mod m
Daraus folgt:
a (p−1)(q−1) ≡ 1 mod p
a (p−1)(q−1) ≡ 1 mod q
Ist eine Zahl a durch n teilbar und b ebenfalls, so ist deren Produkt durch a und b
teilbar. Das ist ein fundamentaler Satz der Teilbarkeit. Ich möchte es kurz an einem
Beispiel erläutern: 2 teilt 6 und 3 teilt 6. Also teilt 6 auch das Produkt der beiden
Zahlen 2·3 (der senkrechte Strich bedeutet ”der linkte Term lässt sich durch den rechten
Term ganzzahlig teilen”).
p·q | a (p−1)(q−1) ≡ 1 mod p·q
In Restklassen rotieren Zahlen. Das bedeutet. . .
0 ≡ 0 mod a
a ≡ 0 mod a
k·a ≡ 0 mod a
Das bedeutet jedes k-fache vom Argument a ist kongruent zu Null bezüglich des Moduls
a.
a k(p−1)(q−1) ≡ 1 mod p·q
a 1+k(p−1)(q−1) ≡ a mod p·q
Das lassen wir einmal so stehen und schauen uns die Kongruenzbedingung 8 an. Für jene
gilt:
e·d ≡ 1 mod ϕ(N)
6 Sektion 4.15
7 Sektion 4.8.3
8 Sektion 4.18.1