PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 79
Durch ganz einfaches Herumprobieren (p und q müssen Primzahlen sein) kommt man
sehr schnell an die Lösung. Haben wir jetzt auch p und q berechnet, so haben wir alle
Koeffizienten berechnet; nur durch die Kenntnis von ϕ(N).
Aber ist es nicht möglich von N auf ϕ(N) zu schließen. Wir kennen doch die Definition
von ϕ(x): Gibt die Anzahl der teilerfremden Zahlen kleiner x zu x zurück. Das bedeutet
wir müssten zur Errechnung von ϕ(x) von jeder Zahl kleiner x den größten gemeinsamen
Teiler von der Zahl mit x überprüfen. Ist der ggT Eins, so ist sie teilerfremd zu x und ein
Zähler wird inkrementiert. In der Tat geht dies sehr schnell. Der euklidische Algorithmus
zur Berechnung von ggTs wurde bereits vorgestellt (Sektion 4.11.1). Allerdings muss man
bedenken, dass die Berechnung für jede Zahl geschehen muss.
num = 540
z a e h l e r = 0
for i in xrange (num ) :
i f ggT ( i , num) == 1 :
z a e h l e r += 1
print
z a e h l e r
Die for-Schleife lässt bereits Schlechtes vorahnen. Bei einer Zahl wie num = 540 halten
sich die Berechnungen in Grenzen, aber bei riesigen Zahlen (wie wir wissen verwendet
man bevorzugt 617-stellige 2048-Bit-Zahlen) ist das ein enormer Geschwindigkeitsverlust.
ϕ(N) lässt sich aus N nicht effizient berechnen. Wie berechnet es aber die Person
selbst? Sie ist ja im Besitz von p und q und genau dort ist der Knackpunkt. ϕ(N) lässt
sich ineffizient über den Euklidischen Algorithmus berechnen oder effizient durch eine
einfache Multiplikation der Form (p−1)(q −1). Und das ist auch die Stelle, wo klar wird,
was mit Falltürfunktion gemeint ist. Das Produkt von p und q lässt sich ganz leicht berechnen.
Ebenso lässt sich das Produkt von (p − 1) und (q − 1) leicht berechnen. Aber
ϕ(N) lässt sich nicht leicht berechnen; außer man ist im Besitz von p und q. Und diese
Primzahlen p und q besitzt nur der Kodierer selbst. Und genau das ist der Knackpunkt.
Wer N in p und q zerlegt kann und dann daraus (p−1) und (q−1) berechnet, kann ϕ(N)
berechnen und damit einen RSA-Schlüssel knacken. RSA ist gebrochen, wenn jemand N
effizient faktorisieren kann.
Eine klassische Attacke
Effiziente Faktorisierungsverfahren gibt es nicht. Quadratisches Sieb und die Probedivision
sind die beiden führenden Verfahren, die eingesetzt werden. Die werden auf verteilten
Rechner ausgeführt und so wird der riesige Aufwand auf viele kleiner Computer (Stichwort
Verteiltes Rechnen) aufgespalten. Wie sieht diese Vorgehensweise aus?
• Die Probedivision ermittelt kleine mögliche Faktoren