PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 74
⇒ e·d = 1 + k·ϕ(N) mod ϕ(N)
⇒ e·d = 1 + k·(p − 1)(q − 1) mod ϕ(N)
Und jetzt haben wir alle Sätze fertig gestellt. Es gilt für die Verschlüsselung des Klartext
m die Formel und das Gesamte wird mit d potenziert (da zuerst Verschlüsselung und
dann Entschlüsselung). In Gleichungen ausgedrückt:
(m e ) d ≡ m ed ≡ m 1+k(p−1)(q−1) ≡ m 1 ≡ m mod p·q
4.18.1 Ein Beispiel mit RSA
In diesem Kapitel werden die cryptotools verwendet; ein beiliegendes Paket von mir
programmiert in python 9
Wir wählen zwei Primzahlen p und q. Während sichere Programme Primzahlen im Bereich
2 2048 berechnen, verwenden wir die Primzahlen 7 und 17, um es an einem einfachen
Beispiel zu verdeutlichen. Wir definieren N als das Produkt beider Primzahlen.
N = p ∗ q 119 = 7 ∗ 17
Für 7 und 17 gilt ϕ(N) = ϕ(p·q) = (p − 1)(q − 1) = 96. Wer sich noch nicht davon
überzeugen lässt, dass ϕ(p·q) = (p −1)(q −1) gilt (siehe Sektion 4.11.2), kann die Zahlen
in die cryptotools eingeben, die diesen Trick nicht ausnutzen (dazu wäre nämlich ein
Primzahltest notwendig, der einen Geschwindigkeitsverlust bedeutet).
Which option would you like to start? c
number: 119
96
Argument Wert
p 7
q 17
N 119
ϕ(N) 96
Jetzt benötigen wir eine beliebige – zu ϕ(N) teilerfremde – Zahl e, die kleiner als 72,
aber größer als 1 ist.
9 http://lukas-prokop.at/proj/spezialgebiete/tools.tar.gz