PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 56
35 + 1756 = 1791 mod 10 = 1
5 + 6 = 1
Diese Rechenregel lässt sich auf die beiden Punktrechnungsarten (Addition & Multiplikation)
anwenden. Nicht jedoch auf Division oder Subtraktion. Der Grund dafür liegt
in der Tatsache, dass die Einerstelle bei einer Rechenoperation verantwortlich ist für die
Einerstelle des Ergebnisses und alle weiteren Stellen. Die Zehnerstelle (zB eines Summanden)
kann jedoch nicht die Einerstelle des Ergebnisses beeinflussen. Nur bei Subtraktion
und Division ist dies schon der Fall.
4.9 Potenzieren und Reste berechnen
4.9.1 Square and Multiply in python
”Square and Multiply” ist ein wunderbares Verfahren. Es ist mathematischer Optimierungsalgorithmus,
um den Modulo einer potenzierten Zahl zu berechnen. Als ich vor
einem mathematischen Problem 5 stand, schrieb ich eine gewöhnliche Anwendung,die
a c mod m berechnet. Der Algorithmus benötigt 3 Minuten zur Lösung des Problems.
Als ich Square and Multiply anwand, verkürzte sich die Laufzeit auf 7 Sekunden. Das
liegt daran, dass bei einem normalen Verfahren, der Computer für a c (a·(c − 1)) Multiplikationen
durchführen muss. Bei SaM reduziert es sich auf die Anzahl der Stellen der
Binärzahl von c. Im Vergleich bedeutet dies bei der Rechnung 12334 8402 herkömmlich
8402 Schritte und mit SaM nur 14 Schritte.
In modernen Programmiersprachen wie python ist SaM bereits eingebaut (in der Funktion
pow()). SaM vereinfacht das Potenzieren, indem der Exponent mit den Potenzrechenregeln
zerlegt wird. Es gibt verschiedene Varianten. Normalerweise arbeitet man mit
der binären Exponentation. Der folgende Programmcode kommt ohne Binärzahlen aus.
a = 12334
c = 8402
m = 13
r e s = 1
while c != 0 :
while c % 2 == 0 :
c = c / 2
a = ( a ∗∗2) % m
c = c − 1
r e s = ( r e s ∗ a ) % m
5 http://projecteuler.net