PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 50
4.7.2 Satz über die Teilbarkeit
( p
Der zweite Satz besagt, dass
k
)
mit p ∈ P immer durch p teilbar ist.
( p
k
)
=
p·(p − 1) . . . (p − k + 1)
1·2. . .k
Wir müssen konkretisieren, dass k > p für Binomialkoeffizienten keinen Sinn ergibt (man
würde mehr Elemente in einer Menge unterbringen als möglich ist) und k = p würde 1
ergeben. Für diese beiden Fälle exkludieren wir den Satz der Teilbarkeit. Also gilt k < p
wobei k, p ∈ Z.
Wir sehen uns die Definition oben an. Die Anzahl der Elemente über dem Bruchstrich ist
k. Die unter dem Bruchstrich ist k. Die größeren Zahlen sind stets über dem Bruchstrich
zu finden (das Ergebnis ist > 0). Die größte Zahl über dem Bruchstrich p. Deshalb gilt:
die größte Zahl aus der Definition des Binomialkoeffizienten ist p. Ist p ein Element der
Primzahlen, dann hat p keinen gemeinsamen Teiler mit irgendeiner anderen Zahl, die im
Bruch vorkommt. Aus der Definition von Modulo wissen wir:
k·a mod a ≡ 0
k
a mod a ≢ 0
Allgemein bleibt eine Zahl nur bei einer Vervielfachung mit einer ganzen Zahl durch
sich selbst teilbar. Bei einer Division ist dies nicht der Fall. Ein Binomialkoeffizient wäre
nur dann nicht durch p teilbar, wenn der Divisor die (größte) Zahl p beeinflußt. Es ist
jedoch sehr interessant, dass Faktoren des Divisors immer durch Kürzungen wegfallen.
Diese Kürzungen kommen bei p nicht zustande, weil p keinen gemeinsamen Teiler (1
ausgenommen) mit einer der unteren Zahlen besitzt, weil p eine Primzahl ist. Wir schauen
uns ein Beispiel an:
( 23
5
)
= 23·22·21·20·19
1·2·3·4·5
21 (aus dem Zähler) ist durch 3 (aus dem Nenner) teilbar. 22 (Zähler) ist durch 2 teilbar.
20 ist durch 4 teilbar. Die resultierende 5 ist durch 5 teilbar.
( 23
5
)
= 23·19·11·7
Die 23 bleibt jedoch weiterhin unversehrt. Dies liegt daran, dass sie die größte Zahl ist
und eine Primzahl ist. Sie wird dadurch nicht durch andere Faktoren verändert.