PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 64
p 1·p 2·p 3 . . . p n + 1 ≡ 1 mod p n ; n ∈ Z
⇒ k·p n + 1 = p 1·p 2·p 3 . . . + 1
Wenn wir annehmen, dass n beispielweise 2 ist, dann gilt:
k = p 1·p 3·p 4 . . .
Wir sehen, dass k eine ganze Zahl ist, was wir vorher erwarteten. Mit k wird sozusagen
der Rest der Gleichung ausgeglichen. Wir haben bewiesen, dass die Division von Produkt
von n Primzahlen plus Eins durch eine der Primzahlen immer den Rest 1 hinterläßt.
Zurück zum Beweis:
Da die Zahl den Rest 1 hinterlässt, ist sie nicht als Produkt von bisherigen Primzahlen
darstellbar. Deshalb muss sie als eine neue Primzahl definiert werden, die nur 2 Teiler (1
und sich selbst) hat. Diese Aussage lässt sich auf jede beliebig große Menge an Primzahlen
anwenden und Euklid sah darin den Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen.
Noch größere Primzahlen?
Die Frage lautet, wieso man diese Verfahren nicht verwendet, um noch mehr Primzahlen
zu erzeugen. Das Problem ist, dass es nicht alle Primzahlen erzeugt, wobei das Verfahren
selbst die Kenntnis von allen bisherigen Primzahlen vorher sieht.
4.12.2 Wozu Primzahlen?
Primzahlen haben eine wunderbare Eigenschaft: Sie sind unvorhersehbar. Dies sehen
wir auch, wenn wir die Frage Nummer 1 (”Kann man hervorsagen, wann die nächste
Primzahl auftreten wird?” auf Seite 63) zu analysieren versuchen.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2·x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tabelle 4.4: Tabelle mit 2·x
Man benötigt nicht viel Gehirnschmalz, um die nächste Zahl (22) hervorzusagen. Genauso
ist es nicht schwer diese Folge zu notieren und die Ausgangsfunktion zu erraten.
Die Zahl Null ist eine ganz böse Zahl. Einerseits ist sie als Faktor total untauglich und
andererseits können wir den Modulowert erahnen, wenn wir einen Wert mit 0 erhalten.
Nehmen wir zum Beispiel die 2·2 heraus (3. Zeile und 4. Spalte).
2·2 mod x = 0
4 mod x = 0