PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 59
daher nicht teilerfremd. 12 und 3 besitzen 1 und 3 als Teiler. Wenn wir ständig so
weitermachen, werden wir entdecken, dass nur 1, 5, 7 und 11 die 1 als gemeinsamen
Teiler mit 12 besitzen. Die Anzahl der teilerfremden Zahlen kleiner dem Parameter 12
ist also 4.
Für Primzahlen gilt eine besondere Formel:
ϕ(n) = (n − 1);
n ∈ P
Dies ergibt sich daraus, dass nur 1 ein gemeinsamer Teiler mit 1 ist und sonst keine Zahl
kleiner der Primzahl.
4.11.1 Berechnung der Eulerschen Funktion
Der bekannteste Algorithmus für Informatiker ist der Euklidische Algorithmus. Er berechnet
den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen. Der Algorithmus geht – entgegen
der Namensgebung – nicht auf Euklid als Entdecker zurück, wurde jedoch von ihm in
dem Werk ”Les Elements” erwähnt.
def e u k l i d ( a , b ) :
while b != 0 :
a , b = b , a % b
return a
def e u k l i d r e c u r s i v e ( a , b ) :
i f b == 0 :
return a
else :
return e u k l i d r e c u r s i v e (b , a % b )
Im Programmcode wurde der Algorithmus zuerst iterativ, dann rekursiv implementiert.
Gut. . . mit diesem Algorithmus können wir den ggT zweier Zahlen berechnen. Aber was
bringt uns das bei der Eulerschen Funktion? Ganz einfach müssen wir alle gemeinsamen
Teiler testen. Ist der Teiler größer 1, dann wissen wir, dass es mindestens 2 Teiler gibt
und die Zahl somit teilerfremd ist.
num = 13
prime = True
for i in xrange (num ) :
i f e u k l i d (num, i ) != 1 :
prime = False
return prime