PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 62
3 mod 2 = 1
16 mod 2 = 0
17 mod 2 = 1
Und wenn wir jetzt die Additions- und Multiplikations-Tabelle für die modulo 2 notieren,
erhalten wir einen schönen Überblick:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Tabelle 4.2: Additionsregeln für modulo 2
* 0 1
0 0 0
1 0 1
Tabelle 4.3: Multiplikationsregeln für modulo 2
Die Additionstabelle habe ich deshalb notiert, weil sich die Ähnlichkeit zu XOR aus Kapitel
2.6 nicht leugnen lässt. Wir können formulieren: Modulo 2 hat das selbe Verhalten
wie XOR.
Den Primzahlen ordnet man auch inoffiziell das Mengensymbol P zu.
Zurück zu unserer ursprünglichen Frage: Wie kann man alle natürlichen Zahlen erhalten,
mit deren Multiplikation sich alle Zahlen abbilden lassen? Wir brauchen also nur ungerade
Zahlen betrachten, weil eine Multiplikation mit einer geraden Zahlen ergibt ersichtlich
immer eine gerade Zahl. Nun betrachten wir beispielweise 15. 15 ist eine ungerade Zahl
(da 15 mod 2 = 1), aber keine Primzahl. Das liegt daran, dass sie das Produkt der beiden
(zufällig) Primzahlen 3 und 5 ist. Die Hälfte der Zahlen haben wir bereits ausgeschlossen
und zusätzlich suchen wir nach Produkten. Nach Produkten von allen Zahlen brauchen
wir gar nicht suchen (siehe Tabelle 4.3). Bevor wir jetzt weiterdenken bemerken wir, dass
wir hier von Primzahlen sprechen. Mit Primzahlen lassen sich alle natürlichen Zahlen
durch Multiplikation (oder durch sich selbst) darstellen.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .
An der Stelle fassen wir die Punkte nochmals verallgemeinert zusammen:
• Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen
• Mit Primzahlen lassen sich alle natürlichen Zahlen abbilden