PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 53
Letztenendlich gilt, dass vorwiegend die symmetrische Variante in Programmiersprachen
implementiert ist. Dabei wird immer die mathematische Variante verwendet. python hat
glücklicherweise die mathematische Variante implementiert, aber in Java müsste man
eine eigene Funktion schreiben, um die falsche Implementierung zu berichtigen. Für (die
Herleitung vom) kleinen Satz von Fermat und im gesamten Dokument brauchen wir die
mathematische Variante.
4.8.3 Modulare Arithmetik
Unter modularer Arithmetik versteht man die Wissenschaft, die das mathematische Verhalten
von kongruenten Ausdrücken untersucht. Dieses Unterkapitel soll bloß dazu dienen,
die wichtigsten Rechenregeln zusammenzufassen.
(x + y) mod n ≡ ((x mod n) + (y mod n)) mod n
(x − y) mod n ≡ ((x mod n) + (−y mod n)) mod n
(x·y) mod n ≡ (x mod n)·(y mod n) mod n
x y mod n ≡ (x mod n) y mod n
x ≡ y mod m ∧ r ≡ s mod m
⇒(x + r) ≡ (y + s) mod m
⇒(x·r) ≡ (y·s) mod m
x ≡ y mod m ∧ y ≡ s mod m
⇒x ≡ s mod m
x ≡ y mod m ⇒ (x + s) ≡ (y + s) mod m
ggT(m, n) = 1 ∧ x ≡ y mod m ∧ x ≡ y mod n
⇒x ≡ y mod m·n
x·y = 0 mod p ∧ p ∈ P
⇒x ≡ 0 mod p
⇒y ≡ 0 mod p