PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 61
ϕ(p·q) = p·q − 1 − q + 1 − p + 1
ϕ(p·q) = p·q − p − q + 1
ϕ(p·q) = p(q − 1) − (q − 1)
ϕ(p·q) = (p − 1)(q − 1)
Wir folgern daraus: Die Anzahl der Zahlen kleiner dem Produkt von zwei Primzahlen
(p, q), die teilerfremd zum Produkt sind, ist (q − 1)(p − 1).
4.12 Theorie der Primzahlen
Unter Primzahlen versteht man alle Zahlen, die nur durch sich selbst und 1
teilbar sind
Primzahlen haben sehr interessante Eigenschaften. Es gibt verschiedene Ansätze, wie
man zu Primzahlen gelangt. Einen Ansatz stellt Rudolf Taschner[7] vor.
Wir möchten alle Zahlen finden, um alle Zahlen durch eine Multiplikation abbilden zu
können. Mit 1 wären wir erfolgreich. 1 ∗ a = a wobei a für jede beliebige Zahl a ∈ R.
Aber 1 ist nicht valid. Die Griechen sahen die Eins nicht einmal als richtige Zahl an. Eins
war die Einheit. Wir suchen also alle anderen natürlichen Zahlen. Wir fügen in unsere
Liste einmal 2 hinzu. 3 lässt sich nicht durch 2 darstellen, also fügen wir es hinzu ([2 ,3]).
4 lässt sich durch 2 darstellen. 5 lässt sich nicht durch 2 oder 3 darstellen ([2, 3, 5]). 6
durch 2. 7 wieder nicht ([2, 3, 5]). 8 durch 2. Das geht jetzt immer so weiter. Wir können
einmal alle geraden Zahlen ausschließen. Damit wir weitere Zahlen finden können wir
einmal beobachten, wann ungerade Zahlen bei einer Multiplikation auftreten.
gerade * gerade
ungerade * gerade
gerade * ungerade
ungerade * ungerade
gerade
gerade
gerade
ungerade
Tabelle 4.1: Multiplikationsregel für (un)gerade Zahlen
Wir können es etwas anders interpretieren. Die geraden Zahlen sind ja jene Zahlen, die
sich durch modulo 2 gleich Null kennzeichnen.
0 mod 2 = 0
1 mod 2 = 1
2 mod 2 = 0