PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 63
• Je größer der Zahlenbereich wird, desto seltener treten Primzahlen auf
Aus dem zweiten Satz folgt automatisch die Überlegung der Primfaktorzerlegung. Eine
Zahl können wir (beinahe eindeutig) in Primzahlen zerlegen. Die Zahl 6 lässt sich beispielweise
nur als 2 ∗ 3 anschreiben. Falsch, denn auch 2 ∗ 2 ∗ 2 ist 6, doch wir versuchen
den Term möglichst kurz zu halten, indem wir jede Primzahl nur einmal verwenden.
Unter Primfaktorzerlegung versteht man die Zerlegung einer Zahl als Produkt
seiner Primfaktoren
Jetzt stellen wir uns 3 Fragen. Diese müssen wir näher betrachten, damit wir Primzahlen
zur Verschlüsselung anwenden können.
• Kann man hervorsagen, wann die nächste Primzahl auftreten wird?
• Ist eine Zahl x eine Primzahl?
• Wie können wir alle Primzahlen erzeugen?
4.12.1 Euklid’s Beweis für die unendliche Anzahl an Primzahlen
Wir wissen:
Alle ganzen Zahlen lassen sich als Produkt von Primzahlen abbilden
Euklid definiert eine Menge:
N = p 1·p 2·p 3·p r + 1;
p i ∈ P
Eine Division dieser Menge durch eine der Primzahlen ergibt immer den Rest 1. Wieso?
a ≡ b mod c;
a ≥ b
Das a≥b sollte nur klar machen, dass a die ursprüngliche Zahl ist und ein unbekannter
Wert k so oft abgezogen wird, bis nur mehr b übrig bleibt. Wir können die Modulo-
Operation umschreiben:
⇒ k·c + b = a
Ok. . . halten wir dies fest und kehren zu Euklid’s Menge zurück. Wir nehmen die Aussage
als wahr an. Dann gilt: