PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 70
Widerspruch ergeben). Da auch gilt: p darf kein Vielfaches von a sein (sonst wäre p ja
keine Primzahl), können wir auch sagen ggT(a, b) = 1.
a ≠ k·p
p ≠ k·a
⇒ ggT(a, p) = 1
Wir zeigen noch ein Zahlenbeispiel:
(6 + 1) 13−1 ≡ 6 13−1 mod 13
1 ≡ 1 mod 2
Komischerweise ergibt das immer diese Eins; unabhängig davon welche Werte wir verwenden
(solange sie der Definition entsprechen). Aber das ist auch das, was wir voraussetzten
(den kleinen Fermat). Zusammengefasst gilt es:
Es sei a ∈ Z und p ∈ P. Dann gilt:
a p ≡ a mod p
Wenn zusätzlich noch ggT(a, p) = 1, dann gilt:
Wir rechnen noch ein paar Beispiele:
a p−1 ≡ 1 mod p
5 7 ≡ 5 mod 7
10 1 1 ≡ 10 mod 11
41317940 6991 ≡ 41317940 mod 6991
41317940 6991 = 1130 mod 6991
Hoppla. . . was ist beim letzten Beispiel passiert? Die beiden Seiten sind ja unterschiedlich.
Falsch. . . die Sätze sind ident. Man muss bedenken, dass bei a > p gilt, dass a
modul(iert) wird. Sowohl 41317940 als auch 1130 entstammen der selben Restklasse
(Z/6991Z) (Menge von Zahlen, die bei Division durch p bzw. m den selben Rest zurücklassen).
41317940 mod 6991 = 1130