PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 69
4.15 Fermat’s kleiner Satz
a p ≡ a mod p
a ∈ Z; p ∈ P
Wir wollen jetzt den kleinen Satz von Fermat (kurz: Kleiner Fermat) beweisen. Dazu
führen wir eine vollständige Induktion durch. Das bedeutet wir zeigen, dass die Aussage
für die erste natürliche Zahl 1 gilt (Induktionsanfang). Danach zeigen wir, dass – wenn
es für die Variable k gilt (Induktionsannahme) – ebenso für k+1 gilt (Induktionsschritt).
Induktionsanfang:
Induktionsannahme:
1 2 ≡ 1 mod 2
wahre Aussage
Induktionsschritt:
a p ≡ a mod p
Mithilfe der Binomialkoeffizienten haben wir gezeigt, dass gilt: (siehe Sektion 4.7):
(
(a + 1) p = a p p
+
1
)
(
a p−1 p
+ . . . +
p − 1
)
a + 1
Wir nehmen das ganze modulo p. Da alle Binomialkoeffizienten durch p teilbar sind, sind
sie kongruent 0 bezüglich der Restklasse p. Folglich setze ich alle Summanden (äußer den
beiden Randelementen) gleich Null.
(a + 1) p ≡ a p + 1 mod p
(a + 1) p − (a + 1) ≡ a p + 1 − (a + 1) mod p
(a + 1) p − (a + 1) ≡ a p − a mod p
Wir haben damit bewiesen, dass die Rechnung mit a das selbe ergibt, wie mit a + 1. Der
Induktionsschritt ist erfüllt. Der Beweis ist für alle natürlichen Zahlen erbracht. Eine
Frage bleibt aber offen. Wieso habe ich vorhin den Term nicht vereinfacht? Dadurch
wäre der Induktionsschritt ersichtlicher.
(a + 1) p−1 ≡ a p−1 mod p
Der Grund ist, dass bei diesem Satz eine Bedingung erfüllt werden muss: a darf kein
Vielfaches von p sein (löse die Gleichung einfach mit a = k·p und es wird sich ein