PDF Kryptologie

Kryptologie – Eine verschlüsselte Wissenschaft 60
4.11.2 Ein Satz zur Eulerschen Funktion
Die eulersche Funktion gibt die Anzahl der Zahlen kleiner n zurück, die teilerfremd zu
n sind. Das heißt für 11 gilt:
ϕ(11) = |{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}| = 11 − 1 = 10
Wie sieht es jetzt bei einer Multiplikation von Primzahlen aus?
ϕ(11·13) = 120
Wenn wir genau überlegen, dann ergibt sich die 120 ebenso aus. . .
ϕ(11·13) = 10·12 = 120
Woran liegt das? Wir können es ganz einfach herleiten.
Die maximale Anzahl der Zahlen kleiner n und teilerfremd zu n, kann maximal (n − 1)
sein.
ϕ(p·q) = p·q − 1 . . .
p und q haben keine Teiler, aber besitzen Vielfache im Bereich der Differenz der höheren
von der niedrigeren Zahl. Wir müssen also alle Vielfachen von p abziehen:
Q = {q, 2q, 3q, 4q, . . . (p − 1)q}
|Q| = (p − 1)
Das letzte Element kleiner p·q ist (p−1)·q bzw. p·(q−1). Deshalb ist es das letzte Element
dieser Folge. Die Größe der Menge Q ist (p − 1). Für die Vielfachen von q machen wir
den selben Prozess.
P = {p, 2p, 3p, 4p, . . . (q − 1)p}
|P | = (q − 1)
Diese Mengen müssen wir von pq − 1 abziehen:
ϕ(p·q) = p·q − 1 − |P | − |Q|
ϕ(p·q) = p·q − 1 − (q − 1) − (p − 1)
Jetzt brauchen wir nur mehr termumformen. Wir heben p heraus: