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<strong>Kryptologie</strong> – Eine verschlüsselte Wissenschaft 57 return print r e s r e s 4.9.2 Square and multiply am Papier Wer Square and Multiply am Papier rechnen möchte, braucht die Potenz als Binärzahl. Das Umrechnen kann mit einer Tabelle erfolgen. Ich führe hier die Rechnung 123 84 mod 13 durch. Das Verfahren kann man ohne Modulo durchführen, indem man den Modulo auch bei den Rechnungen weglässt. 64 32 16 8 4 2 1 84 1 0 1 0 1 0 0 Wie ist diese Zahl zustande gekommen? 12 = 1·10 1 + 2·10 0 = 12 10 und für binäre Zahlen gilt äquivalent 12 = 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0 = 1100 2 . In der Tabelle habe ich die größte Zahl 2 x angeschrieben, die kleiner als 84 ist. Unter diese Zahl kommt eine Eins. Danach folgt die nächstkleinere (2 5 ). 64 + 32 > 84 und deshalb notiert man drunter eine Null. Nach diesem System rechnet man bis 2 0 und erhält dann die binäre Zahl. Durch solche Tabellen kann man binäre Zahlen sehr gut umrechnen. Für 84 gilt also 86 10 = 1010100 2 . Wir nehmen die binäre Zahl und entfernen alle führenden Nullen (falls wir welche angeschrieben haben). Danach entfernen wir noch die erste 1. Wir ersetzen alle 1en mit ”QM” und 0en mit ”Q”. Als Ergebnis erhalten wir einen Code wie ”QQMQQMQQ”. Dies verwenden wir jetzt als Anweisung (Q = quadrieren und M = Multiplizieren). Nach jeder Operation führen wir modulo 13 aus. ((((((((123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 (((((((10) 2 )·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 (((((9·123) 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 ((((2 2 ) 2 )·123) 2 ) 2 . . . 1 123 84 mod 13 = 1 Durch dieses Verfahren ist die Potenz 2 notwendig und die Multiplikation mit der Basis. Beides ist mit der Hand problemlos durchzuführen. Und der Computer benötigt nur so viele Schritte, wie lang die Binärzahl ist. Sonst benötige er 83 Multiplikationen. . .
<strong>Kryptologie</strong> – Eine verschlüsselte Wissenschaft 58 123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123·123· . . . 4.10 Kongruenz Zwei Zahlen sind genau dann kongruent zueinander, wenn deren Rückgabewert nach einer Modulo-Berechnung den selben Wert ergeben. Zwei Werte a und b sind also kongruent zueinander, wenn gilt: a mod n = b mod n Wann sind solche Zahlen kongruent zueinander? Wenn n den Betrag der Differenz von a − b teilt. Teilen bedeutet modulo 0. Ein Zahlenbeispiel wäre. . . 13 mod 6 = 19 mod 6 1 = 1 |(a − b)| mod n = 0 |(13 − 19)| mod 6 = 0 6 mod 6 = 0 wahre Aussage Eine Beziehung a mod n = x lässt sich auch wie folgt anschreiben: a = k·n + x Man schreibt formal korrekt an (beachte, dass das mathematische Identitätszeichen mit drei Strichen verwendet wird): a ≡ b mod n 4.11 Eulersche Funktion Die Eulersche Funktion gibt die Anzahl teilerfremden Zahlen kleiner dem Parameter zurück. Teilerfremd ist eine Zahl, wenn sie mindestens 2 Teiler mit einer anderen Zahl besitzt. Die Zahl 12 und die Zahl 1 haben nur die 1 als gemeinsamen Teiler und sind deshalb teilerfremd zueinander. 12 und 2 besitzen 1 und 2 als gemeinsamen und sind
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