Reglerentwurf für eine „Fliegende Säge“, die über ... - Matthias Lenord

Modellbildung der Regelstrecke 3-11
3.1.3 Die Geschwindigkeit v(t) des Schlittens
Die Geschwindigkeit v(t) erhält man durch Ableiten des Weges x(t):
2 2
( L E R Φ t R Φ t )
• d
vt () = xt () = − ( + ⋅sin( ())) − ⋅cos(
())
dt
⎡ ( E+ R⋅sin( Φ( t))) ⋅cos(
Φ(
t))
⎤ •
vt () = ⎢sin(
Φ())
t −
⎥ ⋅R⋅Φ() t
2 2
⎣⎢
L − ( E+ R⋅sin( Φ(
t)))
⎦⎥
Die Ableitung der Näherungsformel (10) ergibt:
(18)
E
R
•
⎡
⎤
vt ( ) = sin( ( t))
− cos( ( t))
− sin( ( t)) R ( t)
⎣
⎢
Φ Φ 2 Φ
L
⋅ L ⎦
⎥
⋅ ⋅Φ
(19)
2
Interessant sind die Stellen, an denen der Schlitten die Geschwindigkeit Null hat. Unter der
Annahme, daß sich die Kurbel mit einer Winkelgeschwindigkeit ω( t) ≠ 0 bewegt, braucht
man nur den ersten Term aus dem Produkt gleich Null zu setzen. Führt man die
Substitution
durch, so gilt:
sin( Φ( t)) = z
cos( Φ( t)) = 1−z
2
2 2 2
z⋅ L − ( E+ R⋅z) − ( E+ R⋅z) ⋅ 1− z = 0
Nach dem Lösen der quadratischen Gleichung folgt für z:
E
sin( Φ( t)) = z=
( R± L)
(20)
( L− R)( L+ R) Dies bestätigt die bereits geometrisch hergeleiteten Zusammenhänge für die Größen Φ0
und Φu aus den Gleichungen (13) und (16).