Reglerentwurf für eine „Fliegende Säge“, die über ... - Matthias Lenord

Modellbildung der Regelstrecke 3-13
so folgt:
2
xt ()⋅ z+ E⋅ 1−
z = K
Nach dem Isolieren und Quadrieren der Wurzel ergibt sich:
2 2 2 2 2
E − K = z ( x( t) + E ) − 2 ⋅ K⋅x( t) ⋅ z
2
E
2
− K
xt () + E
2 2
2 K⋅x() t
= z −2⋅ xt () + E
2 2
⋅ z
Jetzt wird quadratisch ergänzt und z ersetzt:
K⋅x() t
(cos( Φ( t))
−
xt () + E
Nach cos(Φ(t)) auflösen:
2 2
)
2
2 2
E − K
=
E + x() t
2 2
K⋅x() t E − K
cos( Φ( t))
= ±
2 2
xt () + E E + x() t
Schließlich folgt für Φ(t):
K⋅x() t
+ (
xt () + E
2 2 2 2
K⋅x() t
+ (
xt () + E
2 2 2 2
[ ⋅ ± ⋅
2
+
2
−
2 ]
[ ⋅ ± ⋅
2
+
2
−
2 ]
)
)
2 (25)
2 (26)
⎛ 1
⎞
Φ() t =+ arccos⎜2
2 K x() t E E x() t K ⎟ für 0 ≤ Φ()
t < 180°
⎝ E + x() t ⎠
(27)
⎛ 1
⎞
Φ() t =−arccos⎜2
2 K x() t E E x() t K ⎟ für − 180°≤ Φ()
t < 0
⎝ E + x() t ⎠
Die Fallunterscheidung muß gemacht werden, da die Umkehrfunktion von cos(Φ) im
Intervall [0°, 360°] nicht eindeutig ist. Dies wird auch aus anschaulichen Überlegungen
heraus deutlich. Für jede Winkelstellung der Kurbel existiert eine bestimmte Position des
Schlittens. Einer Schlittenposition können dagegen zwei Winkelstellungen der Kurbel
zugeordnet werden.