Untersuchungen zur - OPUS - Universität Würzburg

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THEORIE UND STAND DER FORSCHUNG
Setzt man Gl. 2.1 und Gl. 2.5 in die Janssen-Gleichung (Gl. 2.4) ein, so erhält man:
d 4
dx D
�v � ��p��v� �w ��b� tan g
Gl. 2.6
Nach Trennung der Variablen und anschließender Integration folgt nach einigen weiteren
Rechenschritten Gl. 2.7 als Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
�v � 4x
�
�1�exp�� ��p�tan�w �
� � D
�
vmax
Gl. 2.7
In Gl. 2.7 [2] wird der entscheidende Unterschie d z wischen de m Fließverhalten vo n
Flüssigkeiten und Schüttgütern verdeutlicht. Während bei einer Fl üssigkeitssäule der
hydrostatische Druck linear m it deren Höhe zunimmt, strebt die Vertikalspannung �v ei ner
Schüttgutsäule auf einen Maximalwert �v ma x zu. Dieses Phänomen erklärt das Verhalten von
Schüttgütern beim Ausfluss aus Vorratsgefäßen.
��
v
��
vmax
Abb. 2.2 illustr iert den V erlauf der auf den
Maximalwert bezogenen Vertikalspannung
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 �v/�v max in Abhängigkeit von dem Höhen/
0
Durchmesser-Verhältnis einer Schüttgutsäule.
1
�� p = 0,45 Für �p = 0,33 wird bei einem x/D-Verhältnis
von 4 bereits 90 % der m aximalen
2
Vertikalspannung erreicht. Komm t es infolge
�� p = 0,33
interpartikulärer H aftkräfte innerhalb einer
3
Schüttgutsäule zur Ausbildung von Brücken,
x
4
die unter der Vert ikalspannung nicht
einbrechen, so wird der Pulverfluss zum
D 5
Erliegen kommen, wenn die Schüttgutsäule das
Vierfache ihres Durch messers überschreitet.
Abb. 2.2: Dimensionslose Darstellung der
Janssen-Gleichung, � = 30°, nach [2]
Das kritische Höhen/Du rchmesser-Verhältnis
ab dem ein Schüttgut nicht mehr fließt, wird umso früher erreicht, je stärker die Brücken sind.