pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 1. Einführung
sinnvoll, jedoch ist sie nur sehr schwer handzuhaben. Der Beweis, dass ein Diffeomorphismus
existiert ist oft nur konstruktiv und sehr technisch durchzuführen; noch
schwieriger ist es zu beweisen, dass kein Diffeomorphismus existiert. Ein Merkmal, das
die Unterscheidung erheblich erleichtert, ist die „Fundamentalgruppe“ einer Mannigfaltigkeit
(siehe Definition 3.17). Da sich die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit
durch einen Diffeomorphismus nicht verändert, kann so zwischen zwei Mannigfaltigkeiten
unterschieden werden: haben sie nicht die gleiche Fundamentalgruppe, so
kann kein Diffeomorphismus existieren. Und obwohl die Reduktion eines so komplizierten
Gebildes wie einer Mannigfaltigkeit auf eine einfache Gruppe sehr viel Information
entfernt, werden wir sehen, dass die Fundamentalgruppe ein enorm nützliches
Werkzeug ist, um Mannigfaltigkeiten zu unterscheiden. In Kapitel 5 werden wir sehen,
dass die Flächen (also Mannigfaltigkeiten der Dimension 2) bereits komplett charakterisiert
werden können durch die Fundamentalgruppe, und in Kapitel 7 werden wir
etwas ähnliches für 3-Mannigfaltigkeiten versuchen.
Nun stellt sich also noch die zweite Frage: welche Mannigfaltigkeiten gibt es überhaupt?
Es stellt sich heraus, dass diese Frage sehr schwer zu beantworten ist oder gar keine
Antwort hat. Während die Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 noch trivial zu erfassen
sind, existieren in Dimension 2 schon abzählbar viele. Um die Mannigfaltigkeiten
der Dimension 3 wenigstens ungefähr auflisten zu können muss schon sehr viel bewegt
werden, und der Beweis über die Korrektheit der Auflistung gelang erst vor kurzer Zeit
[10]. In Dimension 4 kann bereits jede endlich erzeugte Gruppe als Fundamentalgruppe
einer Mannigfaltigkeit auftreten; deren Klassifikation ist aber selbst unmöglich, und
so ist die Definition, dass zwei 4-Mannigfaltigkeiten „gleich“ sind, wenn ein Diffeomorphismus
zwischen ihnen existiert, offenbar zu schwach, denn sie unterscheidet so
genau zwischen den Möglichkeiten dass eine Liste herauskommt, die nicht beherrschbar
ist.
Dass eine präzise Aufstellung der möglichen Sorten von 3-Mannigfaltigkeit notwendig
ist, und dass diese Aufstellung wegen ihrer Größe der Intuition über Mannigfaltigkeiten
widerspricht, zeigt eine einfache Überlegung: Welche 3-Mannigfaltigkeiten sind
trivial oder intuitiv bekannt? Offensichtlich ist der R 3 eine 3-Mannigfaltigkeit, welche
aber nicht kompakt ist, für uns also nicht weiter interessant. Deren Kompaktifizierung
ist die Sphäre S 3 (siehe Definition 2.18), welche sich offensichtlich von R 3 durch die
Kompaktheit unterscheidet. Und dann? Eine intuitive Auflistung der Mannigfaltigkeiten
der Dimension 3 enthält gerade einmal einen einzigen Eintrag. Die tatsächliche Liste
enthält, wie sich herausstellen wird, jedoch unendlich viele Elemente. Eine Unterscheidung
zwischen diesen Elementen wird mitunter so schwer, dass die Auflistung über
die verwendeten Methoden und Bausteine erfolgen muss.
Das Thurstonprogramm
Das Thurstonprogramm, oder genauer gesagt, die Thurstonsche Geometrisierungsvermutung
enthält genau diese Auflistung. Sie wurde wurde 1982 von William Thurston
im Rahmen einer Veröffentlichung der American Mathematical Society aufgestellt [15]
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